Identitas trigonometri — SMA Tingkat Lanjut Kelas XI

Identitas bukan persamaan

Persamaan trigonometri seperti $sin t = \frac{1}{2}$ hanya benar untuk beberapa nilai $t$ . Identitas benar untuk setiap $t$ yang sah pada daerah asalnya.

cos^{2} t + sin^{2} t = 1 untuk setiap t \in R

Perbedaan ini bukan soal istilah. Pada persamaan, kita boleh memindahkan suku, mengalikan kedua ruas, atau menguadratkan — karena kita sedang mencari nilai yang memenuhi. Pada identitas, kita tidak mencari nilai apa pun; kita hanya perlu menunjukkan kedua bentuk itu memang bentuk yang sama.

Dari mana semua identitas dasar berasal

Hanya ada satu sumber: titik $P (x, y)$ berada pada lingkaran berjari-jari 1, sehingga $x^{2} + y^{2} = 1$ . Dengan $x = cos t$ dan $y = sin t$ , langsung diperoleh:

cos^{2} t + sin^{2} t = 1

Ditulis

cos^{2} t

agar ringkas; artinya

(cos t)^{2}

, bukan

cos (t^{2})

Dari definisi tangen sebagai hasilbagi, bersama identitas di atas, turun identitas turunan yang paling sering dipakai:

tan t = \frac{sin t}{cos t}, tan^{2} t + 1 = sec^{2} t, 1 + cot^{2} t = csc^{2} t

Semuanya tidak perlu dihafal terpisah. Kalau lupa, bagi $cos^{2} t + sin^{2} t = 1$ dengan $cos^{2} t$ — hasilnya langsung $1 + tan^{2} t = sec^{2} t$ .

Strategi membuktikan

Mulai dari ruas yang lebih rumit. Mengubah bentuk sederhana menjadi rumit hampir selalu buntu.
Ubah semua ke $sin$ dan $cos$ kalau buntu. Hampir semua identitas bisa diselesaikan dengan dua fungsi itu saja.
Gunakan identitas $sin^{2} t + cos^{2} t = 1$ untuk mengganti salah satu kuadrat, sesuai arah yang dibutuhkan.
Sederhanakan pecahan dengan memfaktorkan atau menyamakan penyebut.
Berhenti saat kedua ruas identik. Tidak perlu melanjutkan sampai kembali ke bentuk awal.

Contoh dikerjakan

Buktikan bahwa $\frac{1 - cos ^{2} t}{sin t} = sin t$ untuk $sin t \neq = 0$ .

01Pilih ruas yang lebih rumit, yaitu ruas kiri.
Kenapa
Ruas kanan hanya $sin t$ — tidak ada yang bisa disederhanakan. Ruas kiri punya pembilang dan penyebut, jadi di situlah pekerjaan mungkin berhasil.
02Ganti $1 - cos^{2} t$ memakai identitas dasar.
$1 - cos^{2} t = sin^{2} t$
Kenapa
Ini bentuk identitas $cos^{2} t + sin^{2} t = 1$ yang disusun ulang. Arah pemakaiannya menentukan: di sini $sin^{2}$ yang dibutuhkan.
03Substitusikan ke pecahan.
$\frac{1 - cos ^{2} t}{sin t} = \frac{sin ^{2} t}{sin t}$
04Sederhanakan.
$\frac{sin ^{2} t}{sin t} = sin t$
Kenapa
Pembagian ini sah karena $sin t \neq = 0$ . Syarat itu tidak boleh dihilangkan: tanpa syarat, identitasnya tidak berlaku di $t = 0, π, 2 π, \dots$
05Ruas kiri kini sama dengan ruas kanan. Bukti selesai.

Lihat jawaban

$\frac{1 - cos ^{2} t}{sin t} = \frac{sin ^{2} t}{sin t} = sin t$ , dengan syarat $sin t \neq = 0$ .

Contoh dikerjakan

Tanpa dipandu: buktikan $tan t \cdot cos t = sin t$ , lalu buktikan $\frac{cos ^{2} t}{1 - sin t} = 1 + sin t$ .

Yang pertama mudah. Yang kedua butuh satu trik: mengalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan.

01Identitas pertama: ubah tangen menjadi sinus per kosinus.
$tan t \cdot cos t = \frac{sin t}{cos t} \cdot cos t = sin t$
Kenapa
Berlaku untuk $cos t \neq = 0$ , yaitu $t \neq = \frac{π}{2} + k π$ .
02Identitas kedua: kalikan pembilang dan penyebut dengan $1 + sin t$ .
$\frac{cos ^{2} t}{1 - sin t} \cdot \frac{1 + sin t}{1 + sin t} = \frac{cos ^{2} t ( 1 + sin t )}{1 - sin ^{2} t}$
Kenapa
Penyebutnya menjadi selisih kuadrat, yang bisa diganti memakai identitas dasar. Mengalikan dengan bentuk sekawan adalah cara standar menghilangkan $1 - sin t$ .
03Ganti $1 - sin^{2} t$ dengan $cos^{2} t$ .
$\frac{cos ^{2} t ( 1 + sin t )}{cos ^{2} t} = 1 + sin t$
Kenapa
Pembagian sah selama $cos t \neq = 0$ , yang sudah dijamin oleh syarat $sin t \neq = 1$ pada soal.

Lihat jawaban

Kedua identitas terbukti: $tan t cos t = sin t$ dan $\frac{cos ^{2} t}{1 - sin t} = 1 + sin t$ .

Identitas jumlah dan selisih sudut

Dua identitas berikut memperluas trigonometri dari satu sudut ke dua sudut. Buktinya biasanya memakai geometri lingkaran satuan, jadi di sini rumusnya dipakai lebih dulu.

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

Perhatikan tandanya: sinus memakai

+

, kosinus memakai

-

. Untuk selisih sudut, tandanya bertukar.

Dari sini turun sudut rangkap, yang sering dipakai untuk menyederhanakan:

sin 2 t = 2 sin t cos t, cos 2 t = cos^{2} t - sin^{2} t = 1 - 2 sin^{2} t

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Menganggap $sin (α + β) = sin α + sin β$

Jawaban khas: $sin 60° = sin 30° + sin 30° = 1$
Kenapa keliru: Fungsi sinus tidak menyebar melewati penjumlahan. Ini kesalahan yang sama jenisnya dengan menganggap $a + b = a + b$ .
Contoh tandingan: $sin 60° = \frac{3}{2} \approx 0, 866$ , sedangkan $sin 30° + sin 30° = 1$ . Dua angka yang jelas berbeda.

Miskonsepsi

Membuktikan identitas dengan memindahkan ruas

Jawaban khas: Menulis $sin t + cos t = 1$ , lalu menguadratkan kedua ruas dan menyimpulkan identitasnya benar
Kenapa keliru: Menguadratkan bukan operasi yang dapat dibalik, sehingga bisa memunculkan kesamaan pada bentuk yang tidak setara. Selain itu, memindahkan ruas berarti menganggap yang akan dibuktikan sudah benar.
Contoh tandingan: Uji $t = \frac{π}{2}$ : $sin t + cos t = 1$ memang benar. Tetapi uji $t = 0$ : hasilnya juga 1. Uji $t = \frac{π}{4}$ : $\frac{2}{2} + \frac{2}{2} = 2 \approx 1, 414 \neq = 1$ . Jadi bukan identitas.

Miskonsepsi

Membaca $sin^{2} t$ sebagai $sin (t^{2})$

Jawaban khas: Menganggap $sin^{2} 30°$ berarti $sin (900°)$
Kenapa keliru: Notasi $sin^{2} t$ adalah cara singkat menulis $(sin t)^{2}$ . Pangkatnya melekat pada nilai fungsinya, bukan pada masukannya.
Contoh tandingan: $sin^{2} 30° = (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$ . Sedangkan $sin 900° = sin 180° = 0$ . Hasilnya sama sekali berbeda.

Latihan

Latihan 5.1 — identitas dan jumlah sudut

Kerjakan dulu sebelum membuka kunci. Menebak lalu memeriksa lebih baik daripada membaca jawaban lebih awal.

01Bentuk sederhana dari $\frac{sin ^{2} t}{1 - cos t}$ adalah …
1. A $1 + cos t$
2. B $1 - cos t$
3. C $cos t$
4. D $sin t$
Pembahasan
Kalikan pembilang dan penyebut dengan $1 + cos t$ : $\frac{s i n ^{2} t ( 1 + c o s t )}{1 - c o s ^{2} t} = \frac{s i n ^{2} t ( 1 + c o s t )}{s i n ^{2} t} = 1 + cos t$ .
02Nilai $sin 75°$ adalah …
1. A $\frac{6 + 2}{4}$
2. B $\frac{6 - 2}{4}$
3. C $\frac{3 + 1}{2}$
4. D $\frac{2}{2}$
Pembahasan
$sin 75° = sin (45° + 30°) = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = \frac{6}{4} + \frac{2}{4}$ . Pilihan kedua adalah $cos 75°$ .
03Jika $sin t = \frac{3}{5}$ , maka $sin 2 t$ sama dengan …
1. A $\frac{24}{25}$
2. B $\frac{6}{5}$
3. C $\frac{12}{25}$
4. D $\frac{7}{25}$
Pembahasan
$sin 2 t = 2 sin t cos t$ . Karena $cos t = \frac{4}{5}$ (sudut lancip), hasilnya $2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$ . Pilihan $\frac{6}{5}$ muncul dari lupa mengalikan $cos t$ .
04Manakah yang bukan identitas?
1. A $sin^{2} t + cos^{2} t = 1$
2. B $sin (α + β) = sin α + sin β$
3. C $cos (- t) = cos t$
4. D $tan t = \frac{s i n t}{c o s t}$
Pembahasan
Sinus tidak menyebar melewati penjumlahan sudut. Tiga pernyataan lainnya benar untuk setiap nilai yang sah pada daerah asalnya.
05Bentuk sederhana dari $cos^{2} t - sin^{2} t$ adalah …
1. A $cos 2 t$
2. B $sin 2 t$
3. C $1$
4. D $- 1$
Pembahasan
Itu tepat rumus sudut rangkap untuk kosinus: $cos 2 t = cos^{2} t - sin^{2} t$ . Pilihan $sin 2 t$ tertukar karena bentuknya mirip.

Yang perlu diingat

Identitas benar untuk semua $t$ ; persamaan hanya untuk beberapa $t$ .
Semua identitas dasar berasal dari $x^{2} + y^{2} = 1$ pada lingkaran satuan.
Mulai membuktikan dari ruas yang lebih rumit.
Jangan memindahkan ruas saat membuktikan identitas.
$sin (α + β)$ , $cos (α + β)$ , dan rumus sudut rangkap diturunkan dari identitas jumlah sudut.
Selalu tuliskan syarat yang membuat pembagian sah.

Rujukan kurikulum

Fase F, elemen Aljabar dan Fungsi — peserta didik dapat membuktikan serta menerapkan identitas trigonometri.

Identitas bukan persamaan

Dari mana semua identitas dasar berasal

Strategi membuktikan

Contoh dikerjakan

Buktikan bahwa sint1−cos2t​=sint untuk sint=0.

Tanpa dipandu: buktikan tant⋅cost=sint, lalu buktikan 1−sintcos2t​=1+sint.

Identitas jumlah dan selisih sudut

Miskonsepsi yang sering muncul

Menganggap sin(α+β)=sinα+sinβ

Membuktikan identitas dengan memindahkan ruas

Membaca sin2t sebagai sin(t2)

Latihan

Latihan 5.1 — identitas dan jumlah sudut

Yang perlu diingat

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Buktikan bahwa $\frac{1 - cos ^{2} t}{sin t} = sin t$ untuk $sin t \neq = 0$ .

Tanpa dipandu: buktikan $tan t \cdot cos t = sin t$ , lalu buktikan $\frac{cos ^{2} t}{1 - sin t} = 1 + sin t$ .

Menganggap $sin (α + β) = sin α + sin β$

Membaca $sin^{2} t$ sebagai $sin (t^{2})$