Fungsi logaritma — SMA Tingkat Lanjut Kelas XI

Logaritma sebagai kebalikan eksponen

Eksponen bertanya “jika pangkatnya diketahui, berapa hasilnya”. Logaritma membalik pertanyaannya: “jika hasilnya diketahui, berapa pangkatnya”.

^{a} lo g b = c ⟺ a^{c} = b

Dengan syarat

a > 0

a \neq = 1

, dan

b > 0

. Ketiga syarat itu bukan formalitas — masing-masing menutup kasus yang membuat logaritma tidak terdefinisi.

Pernyataan	Arti	Nilai
$^{2} lo g 8$	Pangkat berapa pada 2 agar hasilnya 8	3
$^{3} lo g 81$	Pangkat berapa pada 3 agar hasilnya 81	4
$^{10} lo g 1000$	Pangkat berapa pada 10 agar hasilnya 1000	3
$^{5} lo g 1$	Pangkat berapa pada 5 agar hasilnya 1	0

Grafik dan domain

Karena logaritma adalah kebalikan eksponen, grafiknya adalah cerminan grafik eksponen terhadap garis $y = x$ .

Aspek	$f (x) = a^{x}$	$f (x) =^{a} lo g x$
Daerah asal	Semua bilangan real	$x > 0$
Daerah hasil	$y > 0$	Semua bilangan real
Asimtot	Mendatar $y = 0$	Tegak $x = 0$
Titik tetap	Melewati $(0, 1)$	Melewati $(1, 0)$

Untuk $a > 1$ , fungsi logaritma naik. Untuk $0 < a < 1$ , fungsinya turun. Keduanya selalu melewati $(1, 0)$ karena $a^{0} = 1$ untuk basis apa pun.

Sifat yang dipakai untuk menyederhanakan

^{a} lo g (b c) =^{a} lo g b +^{a} lo g c,^{a} lo g \frac{b}{c} =^{a} lo g b -^{a} lo g c

^{a} lo g b^{n} = n \cdot^{a} lo g b,^{a^{n}} lo g b^{m} = \frac{m}{n} \cdot^{a} lo g b

Dua sifat tambahan yang sering menyelesaikan soal:

^{a} lo g b \cdot^{b} lo g c =^{a} lo g c,^{a} lo g b = \frac{^{p} lo g b}{^{p} lo g a}

Contoh dikerjakan

Tentukan daerah asal $f (x) =^{3} lo g (x^{2} - 4 x + 3)$ .

01Tulis syaratnya: isi logaritma harus positif.
$x^{2} - 4 x + 3 > 0$
Kenapa
Syarat ini berlaku untuk setiap logaritma, apa pun basisnya.
02Faktorkan.
$(x - 1) (x - 3) > 0$
03Tentukan interval dengan uji tanda.
$x < 1 atau x > 3$
Kenapa
Parabola terbuka ke atas, sehingga positif di luar kedua akarnya. Kalau tandanya dibalik menjadi $1 < x < 3$ , hasilnya justru interval yang membuat logaritma tidak terdefinisi.
04Periksa dengan satu titik dari tiap interval.
$x = 0 \Rightarrow 3 > 0 ✓, x = 2 \Rightarrow 4 - 8 + 3 = - 1 < 0$
Kenapa
Di $x = 2$ isinya negatif, jadi titik itu memang tidak boleh masuk daerah asal. Cocok.

Lihat jawaban

Daerah asal ${x ∣ x < 1 atau x > 3}$ .

Contoh dikerjakan

Tanpa dipandu: jika $^{2} lo g 3 = p$ , nyatakan $^{2} lo g 12$ dalam $p$ .

Ubah 12 menjadi bentuk yang memuat 3 dan pangkat dari 2.

01Faktorkan 12.
$12 = 4 \cdot 3 = 2^{2} \cdot 3$
02Pakai sifat perkalian.
$^{2} lo g 12 =^{2} lo g 2^{2} +^{2} lo g 3$
03Sederhanakan.
$= 2 + p$
Kenapa
$^{2} lo g 2^{2} = 2$ karena $2^{2} = 4$ . Basis dan bilangan yang dipangkatkan sama, sehingga hasilnya adalah pangkatnya.

Lihat jawaban

$^{2} lo g 12 = 2 + p$ .

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Menganggap $^{a} lo g (b + c) =^{a} lo g b +^{a} lo g c$

Jawaban khas: $^{2} lo g (4 + 4) =^{2} lo g 4 +^{2} lo g 4 = 4$
Kenapa keliru: Sifat penjumlahan logaritma berlaku untuk perkalian, bukan penjumlahan. Penjumlahan di dalam logaritma tidak bisa dipecah.
Contoh tandingan: $^{2} lo g (4 + 4) =^{2} lo g 8 = 3$ , sedangkan $^{2} lo g 4 +^{2} lo g 4 = 2 + 2 = 4$ . Dua angka yang jelas berbeda.

Miskonsepsi

Memakai domain $x > 0$ untuk semua fungsi logaritma

Jawaban khas: Menyimpulkan domain $^{3} lo g (x^{2} - 4 x + 3)$ adalah $x > 0$
Kenapa keliru: Domain ditentukan oleh isi logaritma, bukan oleh variabelnya. Yang harus positif adalah seluruh bentuk di dalam kurung.
Contoh tandingan: Di $x = 2$ , nilai $x$ memang positif, tetapi isi logaritmanya $- 1$ . Jadi $x = 2$ bukan bagian dari daerah asal.

Miskonsepsi

Menganggap $^{a} lo g b = 0$ berarti tidak terdefinisi

Jawaban khas: Menjawab “tidak ada” untuk $^{5} lo g 1$
Kenapa keliru: Nilai 0 sah dan berasal dari $a^{0} = 1$ . Yang tidak terdefinisi adalah logaritma bilangan negatif atau nol, bukan logaritma yang hasilnya nol.
Contoh tandingan: $^{5} lo g 1 = 0$ karena $5^{0} = 1$ . Periksa dengan definisi: basis 5 dipangkatkan 0 memang menghasilkan 1.

Latihan

Latihan 6.1 — logaritma

Kerjakan dulu sebelum membuka kunci. Menebak lalu memeriksa lebih baik daripada membaca jawaban lebih awal.

01 $^{2} lo g 32$ sama dengan …
1. A5
2. B4
3. C16
4. D6
Pembahasan
$2^{5} = 32$ , jadi $^{2} lo g 32 = 5$ . Pilihan 16 berasal dari membagi 32 dengan 2, yang bukan definisi logaritma.
02Daerah asal $f (x) =^{2} lo g (3 x - 6)$ adalah …
1. A $x > 2$
2. B $x > 0$
3. C $x \geq 2$
4. D $x \neq = 2$
Pembahasan
Isi logaritma harus positif: $3 x - 6 > 0$ sehingga $x > 2$ . Pilihan $x \geq 2$ salah karena di $x = 2$ isinya nol, dan logaritma nol tidak terdefinisi.
03Nilai $^{5} lo g 1$ adalah …
1. A0
2. B1
3. C5
4. Dtidak terdefinisi
Pembahasan
$5^{0} = 1$ , sehingga $^{5} lo g 1 = 0$ . Logaritma bernilai nol itu sah.
04Jika $^{2} lo g 3 = p$ , maka $^{2} lo g 12$ adalah …
1. A $2 + p$
2. B $4 p$
3. C $2 p$
4. D $p + 4$
Pembahasan
$12 = 2^{2} \cdot 3$ , sehingga $^{2} lo g 12 =^{2} lo g 2^{2} +^{2} lo g 3 = 2 + p$ .
05Manakah pernyataan yang benar?
1. A $^{2} lo g 8 = 3$
2. B $^{2} lo g (4 + 4) =^{2} lo g 4 +^{2} lo g 4$
3. C $^{2} lo g (- 8) = - 3$
4. DDomain $^{2} lo g (2 x - 4)$ adalah $x > 0$
Pembahasan
$2^{3} = 8$ memenuhi definisi. Pernyataan kedua salah karena sifat jumlah berlaku untuk perkalian; ketiga salah karena logaritma bilangan negatif tidak terdefinisi; keempat salah karena domainnya $x > 2$ .

Yang perlu diingat

$^{a} lo g b = c ⟺ a^{c} = b$ , dengan $a > 0$ , $a \neq = 1$ , $b > 0$ .
Grafik logaritma adalah cerminan eksponen terhadap $y = x$ .
Asimtot tegak $x = 0$ ; melewati $(1, 0)$ .
Domain ditentukan isi logaritma, bukan variabelnya.
$^{a} lo g (b c)$ boleh dipecah; $^{a} lo g (b + c)$ tidak.
$^{a} lo g 1 = 0$ — nilai yang sah, bukan kasus tidak terdefinisi.

Rujukan kurikulum

Fase F, elemen Aljabar dan Fungsi — peserta didik dapat mengenal berbagai fungsi termasuk fungsi logaritma dan menggunakannya untuk memodelkan fenomena.

Logaritma sebagai kebalikan eksponen

Grafik dan domain

Sifat yang dipakai untuk menyederhanakan

Contoh dikerjakan

Tentukan daerah asal f(x)=3log(x2−4x+3).

Tanpa dipandu: jika 2log3=p, nyatakan 2log12 dalam p.

Miskonsepsi yang sering muncul

Menganggap alog(b+c)= alogb+ alogc

Memakai domain x>0 untuk semua fungsi logaritma

Menganggap alogb=0 berarti tidak terdefinisi

Latihan

Latihan 6.1 — logaritma

Yang perlu diingat

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Tentukan daerah asal $f (x) =^{3} lo g (x^{2} - 4 x + 3)$ .

Tanpa dipandu: jika $^{2} lo g 3 = p$ , nyatakan $^{2} lo g 12$ dalam $p$ .

Menganggap $^{a} lo g (b + c) =^{a} lo g b +^{a} lo g c$

Memakai domain $x > 0$ untuk semua fungsi logaritma

Menganggap $^{a} lo g b = 0$ berarti tidak terdefinisi