Komposisi transformasi — SMA Tingkat Lanjut Kelas XI

Urutan penulisan matriks

Kalau $T_{1}$ dikerjakan lebih dulu lalu $T_{2}$ , bayangannya diperoleh dengan menerapkan $T_{1}$ pada titik, kemudian $T_{2}$ pada hasilnya. Sebagai matriks:

(x^{'} y^{'}) = M_{2} \cdot M_{1} (x y)

Matriks yang dikerjakan lebih dulu ditulis paling kanan. Ini kebalikan dari urutan membaca.

Contoh dikerjakan

Titik $P (2, 1)$ dirotasi $90°$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal, lalu dicerminkan terhadap sumbu- $x$ . Tentukan bayangan akhirnya dan matriks komposisinya.

01Tulis matriks masing-masing.
$M_{1} = (01 - 1 0) (rotasi), M_{2} = (10 0 - 1) (refleksi)$
02Susun matriks komposisi: yang dikerjakan lebih dulu di kanan.
$M = M_{2} M_{1} = (10 0 - 1) (01 - 1 0) = (0 - 1 - 1 0)$
Kenapa
Hasilnya adalah matriks pencerminan terhadap garis $y = - x$ . Komposisi rotasi lalu refleksi itu memang setara dengan satu pencerminan.
03Terapkan pada titik.
$(0 - 1 - 1 0) (21) = (- 1 - 2)$
04Periksa dengan mengerjakan satu per satu.
$P (2, 1) rotasi (- 1, 2) refleksi x (- 1, - 2)$
Kenapa
Cocok. Pemeriksaan bertahap adalah cara termudah memastikan urutan matriks tidak terbalik.

Lihat jawaban

Bayangannya $P^{'} (- 1, - 2)$ , dengan matriks komposisi $(0 - 1 - 1 0)$ .

Dua komposisi yang punya pola tetap

Dua refleksi berurutan menghasilkan transformasi yang sangat rapi, dan hasilnya bergantung pada hubungan kedua garis cermin.

Kedua garis cermin	Hasil komposisi
Sejajar, berjarak $d$	Translasi sejauh $2 d$ tegak lurus kedua garis
Berpotongan membentuk sudut $α$	Rotasi sebesar $2 α$ di titik potongnya
Tegak lurus	Rotasi $180°$ di titik potongnya

Contoh yang paling mudah diperiksa: refleksi terhadap sumbu- $x$ lalu sumbu- $y$ . Keduanya tegak lurus dan berpotongan di titik asal, sehingga hasilnya rotasi $180°$ — yaitu $(x, y) \to (- x, - y)$ .

(- 1 0 01) (10 0 - 1) = (- 1 0 0 - 1)

Hasilnya identik dengan matriks rotasi

180°

, sesuai prediksi.

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Menulis matriks komposisi dengan urutan terbalik

Jawaban khas: Menulis $M_{1} M_{2}$ untuk rotasi lalu refleksi
Kenapa keliru: Matriks yang dikerjakan lebih dulu harus berada paling kanan, karena komposisi bekerja seperti fungsi bersusun: $M_{2} (M_{1} (v))$ .
Contoh tandingan: Untuk contoh di atas, $M_{2} M_{1}$ pada $(2, 1)$ memberi $(- 1, - 2)$ . Kalau urutannya dibalik menjadi $M_{1} M_{2}$ , hasilnya $(1, 2)$ — berbeda, dan bukan penyelesaian soal yang ditanyakan.

Miskonsepsi

Menganggap komposisi transformasi komutatif

Jawaban khas: Menukar urutan langkah karena menganggap hasilnya sama
Kenapa keliru: Rotasi dan refleksi tidak komutatif. Bahkan dua refleksi pun tidak komutatif kalau garisnya berpotongan dan tidak tegak lurus.
Contoh tandingan: Mencerminkan $(1, 0)$ terhadap sumbu- $x$ lalu memutar $90°$ memberi $(0, 1)$ . Memutar dulu lalu mencerminkan memberi $(0, - 1)$ . Keduanya berbeda.

Miskonsepsi

Mengira dua refleksi selalu menghasilkan refleksi

Jawaban khas: Menjumlahkan dua pencerminan lalu menyimpulkan hasilnya pencerminan juga
Kenapa keliru: Refleksi membalik orientasi. Dua kali membalik mengembalikan orientasi asal, sehingga hasilnya bukan refleksi melainkan translasi atau rotasi.
Contoh tandingan: Refleksi terhadap sumbu- $x$ lalu sumbu- $y$ memberi $(x, y) \to (- x, - y)$ , yang merupakan rotasi $180°$ — bukan pencerminan. Orientasinya kembali seperti semula.

Latihan

Latihan 5.3 — komposisi

Kerjakan dulu sebelum membuka kunci. Menebak lalu memeriksa lebih baik daripada membaca jawaban lebih awal.

01Jika $T_{1}$ dikerjakan lebih dulu daripada $T_{2}$ , matriks komposisinya adalah …
1. A $M_{2} M_{1}$
2. B $M_{1} M_{2}$
3. C $M_{1} + M_{2}$
4. D $M_{1}^{- 1} M_{2}$
Pembahasan
Yang dikerjakan lebih dulu berada di kanan, karena komposisi bekerja seperti fungsi bersusun. Karena perkalian matriks tidak komutatif, urutan ini penting.
02Dua refleksi terhadap dua garis sejajar berjarak 3 satuan menghasilkan …
1. Atranslasi sejauh 6 satuan
2. Btranslasi sejauh 3 satuan
3. Crotasi $180°$
4. Drefleksi
Pembahasan
Jarak hasilnya dua kali jarak kedua garis: $2 \times 3 = 6$ satuan, tegak lurus kedua garis tersebut.
03Dua refleksi terhadap dua garis yang berpotongan membentuk sudut $30°$ menghasilkan rotasi sebesar …
1. A $60°$
2. B $30°$
3. C $15°$
4. D $90°$
Pembahasan
Sudut rotasinya dua kali sudut antara kedua garis: $2 \times 30° = 60°$ , dengan pusat di titik potongnya.
04Refleksi terhadap sumbu- $x$ lalu terhadap sumbu- $y$ setara dengan …
1. Arotasi $180°$
2. Brefleksi terhadap $y = x$
3. Ctranslasi
4. Drotasi $90°$
Pembahasan
Hasilnya $(x, y) \to (- x, - y)$ , yaitu rotasi $180°$ . Kedua garis cermin tegak lurus sehingga hasilnya rotasi $180°$ .
05Titik $(3, 0)$ dirotasi $90°$ berlawanan arah jarum jam, lalu dicerminkan terhadap sumbu- $y$ . Bayangannya adalah …
1. A $(0, 3)$
2. B $(0, - 3)$
3. C $(- 3, 0)$
4. D $(3, 0)$
Pembahasan
Rotasi $90°$ : $(3, 0) \to (0, 3)$ . Refleksi terhadap sumbu- $y$ mengubah tanda absis, tetapi absisnya sudah 0, sehingga titiknya tetap $(0, 3)$ .

Yang perlu diingat

Komposisi $T_{1}$ lalu $T_{2}$ ditulis $M_{2} M_{1}$ — yang dulu dikerjakan di kanan.
Komposisi transformasi tidak komutatif.
Dua refleksi sejajar berjarak $d$ → translasi $2 d$ .
Dua refleksi berpotongan sudut $α$ → rotasi $2 α$ .
Selalu periksa dengan mengerjakan bertahap.

Rujukan kurikulum

Fase F, elemen Aljabar dan Fungsi — peserta didik dapat menerapkan matriks dalam transformasi geometri.

Urutan penulisan matriks

Contoh dikerjakan

Titik P(2,1) dirotasi 90° berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal, lalu dicerminkan terhadap sumbu-x. Tentukan bayangan akhirnya dan matriks komposisinya.

Dua komposisi yang punya pola tetap

Miskonsepsi yang sering muncul

Menulis matriks komposisi dengan urutan terbalik

Menganggap komposisi transformasi komutatif

Mengira dua refleksi selalu menghasilkan refleksi

Latihan

Latihan 5.3 — komposisi

Yang perlu diingat

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Titik $P (2, 1)$ dirotasi $90°$ berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal, lalu dicerminkan terhadap sumbu- $x$ . Tentukan bayangan akhirnya dan matriks komposisinya.