Faktor dan pembuat nol polinomial — SMA Tingkat Lanjut Kelas XI

Teorema faktor

Teorema sisa menyatakan sisa pembagian oleh $(x - c)$ adalah $P (c)$ . Kalau sisa itu nol, pembagiannya habis. Dari situ:

(x - c) faktor dari P (x) ⟺ P (c) = 0

Dua arah berlaku. Kalau

(x - c)

faktor, maka

P (c) = 0

; dan kalau

P (c) = 0

, maka

(x - c)

faktor.

Mencari akar rasional

Untuk polinomial berderajat tinggi, menebak begitu saja tidak efisien. Ada aturan yang mempersempit tebakan: setiap akar rasional $\frac{p}{q}$ harus memenuhi bahwa $p$ membagi konstanta dan $q$ membagi koefisien utama.

Kandidat akar = \pm \frac{p}{q}, p ∣ a_{0}, q ∣ a_{n}

Contoh dikerjakan

Tentukan semua pembuat nol $P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ .

01Daftar kandidat akar rasional.
$p ∣ 6 \Rightarrow p \in {1, 2, 3, 6}; q ∣ 1 \Rightarrow q = 1$
Kenapa
Koefisien utamanya 1, jadi penyebutnya hanya 1. Kandidatnya menjadi $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ .
02Uji kandidat dengan substitusi, mulai dari yang paling sederhana.
$P (1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$
Kenapa
Satu kandidat berhasil. Ini belum selesai — masih ada dua akar lagi karena derajatnya 3.
03Bagi dengan $(x - 1)$ memakai Horner.
$111 - 6 1 - 5 11 - 5 6 - 6 60$
Kenapa
Sisanya 0, konsisten dengan $P (1) = 0$ . Hasil baginya $x^{2} - 5 x + 6$ .
04Faktorkan hasil bagi yang berderajat 2.
$x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)$
Kenapa
Derajat sudah turun, sehingga cara biasa cukup. Inilah gunanya menemukan satu akar lebih dulu.
05Tuliskan seluruh faktornya.
$P (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)$
06Periksa dengan mengalikan kembali.
$(x - 1) (x - 2) (x - 3) = (x - 1) (x^{2} - 5 x + 6) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$

Lihat jawaban

Pembuat nolnya $x = 1$ , $x = 2$ , dan $x = 3$ .

Membaca pembuat nol dari grafik

Pembuat nol real adalah titik tempat grafik memotong sumbu- $x$ . Dari grafik, beberapa hal bisa dibaca langsung.

Yang terlihat pada grafik	Artinya
Memotong sumbu- $x$ dan melewatinya	Akar berderajat ganjil (umumnya 1)
Menyentuh sumbu- $x$ lalu berbalik	Akar berulang berderajat genap
Tidak memotong sumbu- $x$	Tidak ada akar real di bagian itu

Identitas polinomial

Dua polinomial disebut identik jika koefisien suku-suku sejenisnya sama. Karena itu kesamaan polinomial menghasilkan sistem persamaan untuk setiap pangkat.

Contoh dikerjakan

Tentukan $a$ dan $b$ jika $x^{2} + 5 x + 6 \equiv (x + a) (x + b)$ .

01Jabarkan ruas kanan.
$(x + a) (x + b) = x^{2} + (a + b) x + ab$
02Samakan koefisien setiap pangkat.
$a + b = 5 dan ab = 6$
Kenapa
Koefisien $x^{2}$ di kedua ruas sudah sama, yaitu 1, jadi tidak memberi persamaan baru.
03Selesaikan sistemnya.
$a = 2, b = 3 (atau sebaliknya)$
Kenapa
Urutan $a$ dan $b$ tidak penting, karena perkaliannya komutatif. Keduanya memberi hasil sama saat dijabarkan.
04Periksa.
$(x + 2) (x + 3) = x^{2} + 5 x + 6 ✓$

Lihat jawaban

$a = 2$ dan $b = 3$ (atau sebaliknya).

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Berhenti setelah menemukan satu akar

Jawaban khas: Menemukan $x = 1$ pada polinomial berderajat 3 lalu menyimpulkan itu satu-satunya akar
Kenapa keliru: Polinomial berderajat 3 punya tiga akar (sebagian mungkin berulang atau kompleks). Satu akar hanya menurunkan derajat, bukan menyelesaikan soal.
Contoh tandingan: Setelah membagi dengan $(x - 1)$ , tersisa $x^{2} - 5 x + 6$ yang masih punya dua akar lagi: 2 dan 3. Jawaban dengan satu akar saja belum lengkap.

Miskonsepsi

Menganggap semua akar harus rasional

Jawaban khas: Berhenti mencari setelah semua kandidat rasional gagal
Kenapa keliru: Aturan akar rasional hanya mendaftar kemungkinan akar rasional. Kalau semuanya gagal, akarnya bisa irasional atau kompleks.
Contoh tandingan: $P (x) = x^{2} - 2$ tidak punya akar rasional, karena kandidatnya hanya $\pm 1, \pm 2$ dan semuanya gagal. Akarnya $\pm 2$ , yang irasional.

Miskonsepsi

Mengira menyentuh sumbu- $x$ berarti akar tunggal

Jawaban khas: Melihat grafik menyentuh sumbu lalu berbalik, lalu menyimpulkan akarnya berderajat 1
Kenapa keliru: Menyentuh lalu berbalik menandakan akar berulang berderajat genap. Grafik tidak melewati sumbu karena tanda fungsinya tidak berubah.
Contoh tandingan: $y = (x - 2)^{2}$ menyentuh sumbu- $x$ di $x = 2$ lalu kembali ke atas. Faktornya $(x - 2)$ muncul dua kali, dan di titik itu grafik tidak memotong.

Latihan

Latihan 2.3 — faktor dan pembuat nol

Kerjakan dulu sebelum membuka kunci. Menebak lalu memeriksa lebih baik daripada membaca jawaban lebih awal.

01Jika $P (3) = 0$ , maka faktor dari $P (x)$ adalah …
1. A $(x - 3)$
2. B $(x + 3)$
3. C $(3 x - 1)$
4. D $(x - 0)$
Pembahasan
Teorema faktor: $P (c) = 0$ berarti $(x - c)$ faktor. Dengan $c = 3$ , faktornya $(x - 3)$ .
02Kandidat akar rasional $P (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - 4$ adalah …
1. A $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm \frac{1}{2}$
2. B $\pm 1, \pm 2, \pm 4$
3. C $\pm 1, \pm 2$
4. D $\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}$
Pembahasan
$p$ membagi 4 sehingga $p \in {1, 2, 4}$ , dan $q$ membagi 2 sehingga $q \in {1, 2}$ . Pasangan $\frac{p}{q}$ yang berbeda adalah $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm \frac{1}{2}$ .
03Pembuat nol $P (x) = x^{2} - 5 x + 6$ adalah …
1. A $x = 2$ dan $x = 3$
2. B $x = - 2$ dan $x = - 3$
3. C $x = 1$ dan $x = 6$
4. D $x = - 1$ dan $x = - 6$
Pembahasan
$(x - 2) (x - 3) = x^{2} - 5 x + 6$ . Pilihan $1$ dan $6$ memberi koefisien $x$ sebesar $- 7$ , bukan $- 5$ .
04Grafik sebuah polinomial menyentuh sumbu- $x$ di $x = 4$ lalu berbalik ke atas. Faktor yang bersesuaian adalah …
1. A $(x - 4)^{2}$
2. B $(x - 4)$
3. C $(x + 4)^{2}$
4. D $(x - 4)^{3}$
Pembahasan
Menyentuh lalu berbalik menandakan akar berulang berderajat genap. Derajat 3 akan melewati sumbu, bukan berbalik.
05Jika $x^{2} + b x + 12 \equiv (x + 3) (x + 4)$ , maka nilai $b$ adalah …
1. A7
2. B $- 7$
3. C12
4. D $- 12$
Pembahasan
$(x + 3) (x + 4) = x^{2} + 7 x + 12$ , sehingga $b = 7$ . Koefisien konstanta sudah cocok, jadi tinggal menyamakan koefisien $x$ .

Yang perlu diingat

$(x - c)$ faktor $⟺ P (c) = 0$ .
Kandidat akar rasional $= \pm \frac{p}{q}$ dengan $p ∣ a_{0}$ dan $q ∣ a_{n}$ .
Setiap akar yang ditemukan menurunkan derajat — gunakan Horner.
Grafik memotong sumbu- $x$ : akar ganjil. Menyentuh lalu berbalik: akar genap.
Akar kompleks tidak tampak pada grafik.
Kesamaan polinomial: koefisien suku sejenis harus sama.

Rujukan kurikulum

Fase F, elemen Aljabar dan Fungsi — peserta didik dapat menentukan faktor polinomial.

Teorema faktor

Mencari akar rasional

Tentukan semua pembuat nol P(x)=x3−6x2+11x−6.

Membaca pembuat nol dari grafik

Identitas polinomial

Tentukan a dan b jika x2+5x+6≡(x+a)(x+b).

Miskonsepsi yang sering muncul

Berhenti setelah menemukan satu akar

Menganggap semua akar harus rasional

Mengira menyentuh sumbu-x berarti akar tunggal

Latihan

Latihan 2.3 — faktor dan pembuat nol

Yang perlu diingat

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Tentukan semua pembuat nol $P (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6$ .

Tentukan $a$ dan $b$ jika $x^{2} + 5 x + 6 \equiv (x + a) (x + b)$ .

Mengira menyentuh sumbu- $x$ berarti akar tunggal