Vektor pada bidang: notasi, komponen, dan panjang — SMA Tingkat Lanjut Kelas XI

Skalar dan vektor

Skalar hanya punya besar: suhu 30 °C, massa 5 kg, waktu 2 jam. Vektor punya besar dan arah: perpindahan 5 km ke utara, gaya 20 N membentuk sudut 30°, kecepatan 60 km/jam ke barat.

Perbedaan ini punya akibat nyata. Kalau dua orang berjalan 5 km, mereka bisa berakhir di tempat yang sangat berjauhan — karena arahnya berbeda. Skalar tidak bisa menangkap itu.

v = (v_{1} v_{2}), ∣ v ∣ = v_{1}^{2} + v_{2}^{2}

Panjang vektor dihitung dengan Pythagoras, karena komponennya saling tegak lurus.

Dari ruas garis berarah ke komponen

Sebuah vektor dapat digambar sebagai ruas garis berarah dari titik pangkal ke titik ujung. Yang menentukan vektornya bukan letaknya, melainkan selisih koordinat antara ujung dan pangkal.

A B = B - A = (x_{B} - x_{A} y_{B} - y_{A})

Contoh dikerjakan

Tentukan komponen dan panjang $A B$ jika $A (1, 2)$ dan $B (4, 6)$ .

01Kurangkan koordinat ujung dengan pangkal.
$A B = (4 - 1 6 - 2) = (34)$
Kenapa
Urutannya penting: ujung dikurangi pangkal. Kalau dibalik, arah vektornya berlawanan.
02Hitung panjangnya.
$∣ A B ∣ = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$
03Perhatikan bahwa letak tidak mengubah vektor.
Kenapa
$C D$ dengan $C (0, 0)$ dan $D (3, 4)$ memiliki komponen yang sama. Vektor yang sama boleh digambar di mana saja.

Lihat jawaban

$A B = (34)$ dengan panjang 5.

Vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor berpanjang 1 yang menunjukkan arah saja. Ia diperoleh dengan membagi vektor dengan panjangnya.

v^= \frac{v}{∣ v ∣}, ∣ v^∣ = 1

Dua vektor satuan yang menjadi patokan adalah $i^= (10)$ dan $j^= (01)$ , yaitu arah sumbu- $x$ dan sumbu- $y$ positif. Dengan keduanya, setiap vektor dapat ditulis sebagai kombinasi linear:

(34) = 3 i^+ 4 j^

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Menganggap vektor ditentukan oleh letaknya

Jawaban khas: Menyimpulkan $A B \neq = C D$ hanya karena $A, B$ dan $C, D$ berada di tempat berbeda
Kenapa keliru: Vektor ditentukan oleh besar dan arah, bukan posisi. Dua ruas garis berarah yang sejajar, sama panjang, dan searah mewakili vektor yang sama.
Contoh tandingan: $A B$ dari $A (1, 2)$ ke $B (4, 6)$ berkomponen $(3, 4)$ . $C D$ dari $C (0, 0)$ ke $D (3, 4)$ juga berkomponen $(3, 4)$ . Keduanya vektor yang sama.

Miskonsepsi

Mengurangkan pangkal dari ujung secara terbalik

Jawaban khas: Menghitung $A B$ sebagai $A - B$
Kenapa keliru: Arah vektor akan berbalik 180°. Komponennya menjadi negatif semua, dan hasil operasi berikutnya ikut salah.
Contoh tandingan: Dengan $A (1, 2)$ dan $B (4, 6)$ : $B - A = (3, 4)$ yang mengarah ke kanan atas. $A - B = (- 3, - 4)$ mengarah ke kiri bawah — arah yang berlawanan.

Miskonsepsi

Menjumlahkan panjang vektor secara langsung

Jawaban khas: Menganggap $∣ a + b ∣ = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$
Kenapa keliru: Kesamaan itu hanya berlaku kalau kedua vektor searah. Untuk arah lain, penjumlahan komponen menghasilkan panjang yang berbeda karena ada sudut di antaranya.
Contoh tandingan: $a = (3, 0)$ dan $b = (0, 4)$ masing-masing berpanjang 3 dan 4. Jumlahnya $(3, 4)$ berpanjang 5, bukan 7.

Latihan

Latihan 4.1 — komponen dan panjang

Kerjakan dulu sebelum membuka kunci. Menebak lalu memeriksa lebih baik daripada membaca jawaban lebih awal.

01Komponen vektor dari $A (2, - 1)$ ke $B (5, 3)$ adalah …
1. A $(34)$
2. B $(72)$
3. C $(- 3 - 4)$
4. D $(32)$
Pembahasan
$B - A = (5 - 2, 3 - (- 1)) = (3, 4)$ . Pilihan ketiga adalah $A - B$ , yang arahnya berlawanan.
02Panjang vektor $(68)$ adalah …
1. A10
2. B14
3. C48
4. D $14$
Pembahasan
$36 + 64 = 100 = 10$ . Pilihan 14 berasal dari penjumlahan komponen tanpa dikuadratkan.
03Vektor satuan dari $(34)$ adalah …
1. A $(0, 6 0, 8)$
2. B $(34)$
3. C $(0, 8 0, 6)$
4. D $(\frac{3}{7} \frac{4}{7})$
Pembahasan
Panjangnya 5, jadi vektor satuan $= (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}) = (0, 6, 0, 8)$ . Pembaginya 5, bukan 7.
04Jika $a = (3, 0)$ dan $b = (0, 4)$ , maka $∣ a + b ∣$ adalah …
1. A5
2. B7
3. C1
4. D12
Pembahasan
$a + b = (3, 4)$ , panjangnya $9 + 16 = 5$ . Pilihan 7 muncul dari menjumlahkan panjang secara langsung, yang hanya sah jika kedua vektor searah.
05Dua vektor sama jika dan hanya jika …
1. Abesar dan arahnya sama
2. Bletaknya sama
3. Cpanjangnya sama
4. Dkomponen pertamanya sama
Pembahasan
Vektor didefinisikan oleh besar dan arah. Letak tidak berpengaruh, dan panjang saja tidak cukup karena arah bisa berbeda.

Yang perlu diingat

Skalar punya besar saja; vektor punya besar dan arah.
$A B = B - A$ — ujung dikurangi pangkal.
Panjang $∣ v ∣ = v_{1}^{2} + v_{2}^{2}$ .
Vektor satuan $= \frac{v}{∣ v ∣}$ , panjangnya 1.
Vektor sama jika besar dan arahnya sama, bukan letaknya.
$∣ a + b ∣ \neq = ∣ a ∣ + ∣ b ∣$ kecuali searah.

Rujukan kurikulum

Fase F, elemen Geometri — peserta didik dapat menyatakan vektor pada bidang datar dan melakukan operasi aljabar pada vektor.

Skalar dan vektor

Dari ruas garis berarah ke komponen

Tentukan komponen dan panjang AB jika A(1,2) dan B(4,6).

Vektor satuan

Miskonsepsi yang sering muncul

Menganggap vektor ditentukan oleh letaknya

Mengurangkan pangkal dari ujung secara terbalik

Menjumlahkan panjang vektor secara langsung

Latihan

Latihan 4.1 — komponen dan panjang

Yang perlu diingat

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Tentukan komponen dan panjang $A B$ jika $A (1, 2)$ dan $B (4, 6)$ .