Operasi aljabar pada vektor — SMA Tingkat Lanjut Kelas XI

Penjumlahan dan pengurangan

Penjumlahan vektor dilakukan per komponen: komponen pertama dengan komponen pertama, kedua dengan kedua. Hasilnya setara dengan memindahkan ujung vektor pertama ke pangkal vektor kedua.

(23) + (4 - 1) = (62)

Pengurangan adalah penjumlahan dengan vektor berlawanan arah:

a - b = a + (- b)

Perkalian dengan skalar

Mengalikan vektor dengan skalar $k$ mengalikan setiap komponennya. Efeknya dapat dibaca langsung:

Nilai $k$	Akibat pada vektor
$k > 1$	Memanjang, arah tetap
$0 < k < 1$	Memendek, arah tetap
$k < 0$	Arah berbalik 180°, panjang berubah $∣ k ∣$ kali
$k = 0$	Menjadi vektor nol, arahnya tidak terdefinisi

∣ k v ∣ = ∣ k ∣ \cdot ∣ v ∣

Harga mutlak penting:

k = - 2

membuat vektor dua kali lebih panjang, bukan lebih pendek.

Sifat operasi

Sifat	Berlaku?
$a + b = b + a$	Ya (komutatif)
$(a + b) + c = a + (b + c)$	Ya (asosiatif)
$a - b = b - a$	Tidak — hasilnya berlawanan arah
$k (a + b) = k a + k b$	Ya (distributif)

Contoh dikerjakan

Diketahui $a = (2 - 3)$ dan $b = (- 1 5)$ . Hitung $3 a - 2 b$ dan panjangnya.

01Kalikan masing-masing dengan skalarnya.
$3 a = (6 - 9), 2 b = (- 2 10)$
02Kurangkan per komponen.
$3 a - 2 b = (6 - (- 2) - 9 - 10) = (8 - 19)$
Kenapa
Mengurangi bilangan negatif menambah. Tanda di sini sumber kesalahan paling sering.
03Hitung panjangnya.
$∣3 a - 2 b ∣ = 64 + 361 = 425 = 517 \approx 20, 6$
04Periksa kewajaran hasilnya.
Kenapa
$22, 6 \approx 20, 6$ masuk akal: $3∣ a ∣ \approx 10, 8$ dan $2∣ b ∣ \approx 10, 2$ , dan keduanya tidak searah sehingga hasilnya tidak jauh dari jumlah.

Lihat jawaban

$3 a - 2 b = (8 - 19)$ dengan panjang $517 \approx 20, 6$ .

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Menganggap $k v$ selalu memanjangkan vektor

Jawaban khas: Mengira $k = 0, 5$ atau $k = - 3$ tetap membuat vektor lebih panjang
Kenapa keliru: Panjang berubah sebesar $∣ k ∣$ , dan untuk $∣ k ∣ < 1$ hasilnya justru memendek. Tanda negatif membalik arah, bukan memperpanjang.
Contoh tandingan: Jika $∣ v ∣ = 10$ , maka $∣0, 5 v ∣ = 5$ (memendek) dan $∣ - 3 v ∣ = 30$ (memanjang tiga kali, arah berbalik).

Miskonsepsi

Mengira $a - b = b - a$

Jawaban khas: Menukar urutan pengurangan karena dianggap sama saja
Kenapa keliru: Keduanya berlawanan arah. Panjangnya sama, tetapi vektornya berbeda — dan perbedaan arah itu mengubah hasil semua perhitungan berikutnya.
Contoh tandingan: Dengan $a = (2, 1)$ dan $b = (5, 3)$ : $a - b = (- 3, - 2)$ sedangkan $b - a = (3, 2)$ . Keduanya saling berlawanan.

Miskonsepsi

Menjumlahkan komponen yang salah posisi

Jawaban khas: Menjumlahkan komponen pertama dengan komponen kedua
Kenapa keliru: Penjumlahan per komponen berarti posisi yang sama: pertama dengan pertama, kedua dengan kedua. Mencampur posisi menghasilkan vektor yang tidak bermakna.
Contoh tandingan: $(2, 3) + (4, 1) = (6, 4)$ . Kalau posisinya dicampur, hasilnya akan berbeda dan tidak lagi menggambarkan perpindahan gabungan.

Latihan

Latihan 4.2 — operasi vektor

Kerjakan dulu sebelum membuka kunci. Menebak lalu memeriksa lebih baik daripada membaca jawaban lebih awal.

01 $(3 - 2) + (- 5 7) = \dots$
1. A $(- 2 5)$
2. B $(8 - 9)$
3. C $(- 2 - 9)$
4. D $(25)$
Pembahasan
$3 + (- 5) = - 2$ dan $- 2 + 7 = 5$ . Pilihan dengan $- 9$ muncul dari salah tanda pada komponen kedua.
02Jika $a = (1, 4)$ , maka $∣ - 2 a ∣$ adalah …
1. A $217$
2. B $17$
3. C $- 217$
4. D $417$
Pembahasan
$- 2 a = (- 2, - 8)$ , panjangnya $4 + 64 = 68 = 217$ . Panjang selalu positif, jadi pilihan negatif mustahil.
03Vektor $a - b$ dengan $a = (5, 3)$ dan $b = (2, 1)$ adalah …
1. A $(32)$
2. B $(- 3 - 2)$
3. C $(74)$
4. D $(34)$
Pembahasan
$(5 - 2, 3 - 1) = (3, 2)$ . Pilihan negatif adalah $b - a$ , yang arahnya berlawanan.
04Manakah pernyataan yang salah?
1. A $a - b = b - a$
2. B $a + b = b + a$
3. C $k (a + b) = k a + k b$
4. D $∣ k a ∣ = ∣ k ∣∣ a ∣$
Pembahasan
Pengurangan vektor tidak komutatif. Ketiga pernyataan lain adalah sifat yang memang berlaku.
05Diketahui $p = (2, - 1)$ dan $q = (1, 3)$ . Nilai $2 p + q$ adalah …
1. A $(51)$
2. B $(32)$
3. C $(5 - 1)$
4. D $(41)$
Pembahasan
$2 p = (4, - 2)$ , lalu ditambah $(1, 3)$ menjadi $(5, 1)$ .

Yang perlu diingat

Penjumlahan dan pengurangan bekerja per komponen.
$a - b = a + (- b)$ .
$∣ k v ∣ = ∣ k ∣∣ v ∣$ — panjang selalu positif.
$k < 0$ membalik arah, $∣ k ∣ < 1$ memendekkan.
Penjumlahan komutatif; pengurangan tidak.

Rujukan kurikulum

Fase F, elemen Geometri — peserta didik dapat melakukan operasi aljabar pada vektor.

Penjumlahan dan pengurangan

Perkalian dengan skalar

Sifat operasi

Contoh dikerjakan

Diketahui a=(2−3​) dan b=(−15​). Hitung 3a−2b dan panjangnya.

Miskonsepsi yang sering muncul

Menganggap kv selalu memanjangkan vektor

Mengira a−b=b−a

Menjumlahkan komponen yang salah posisi

Latihan

Latihan 4.2 — operasi vektor

Yang perlu diingat

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Diketahui $a = (2 - 3)$ dan $b = (- 1 5)$ . Hitung $3 a - 2 b$ dan panjangnya.

Menganggap $k v$ selalu memanjangkan vektor

Mengira $a - b = b - a$