Hasil kali titik dan sudut antar vektor — SMA Tingkat Lanjut Kelas XI

Dua cara menghitung hasil kali titik

Hasil kali titik (dot product) dari dua vektor menghasilkan skalar, bukan vektor. Ada dua rumus yang ekuivalen dan dipakai bergantung pada apa yang diketahui.

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ

Bentuk komponen dipakai saat komponen diketahui. Bentuk sudut dipakai saat sudut atau panjang diketahui.

Dari kesetaraan kedua bentuk itu, sudut antara dua vektor dapat dicari:

cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}

Menguji ketegaklurusan dan kesejajaran

Karena $cos 90° = 0$ , dua vektor tegak lurus jika dan hanya jika hasil kali titiknya nol. Ini alat uji yang jauh lebih cepat daripada menggambar.

a ⊥ b ⟺ a \cdot b = 0

Nilai $a \cdot b$	Sudut	Hubungan
Positif	$θ < 90°$	Mengarah ke arah yang sama
Nol	$θ = 90°$	Tegak lurus
Negatif	$θ > 90°$	Mengarah berlawanan

Untuk kesejajaran, dipakai hasil kali silang yang tidak dibahas di sini. Namun secara komponen, dua vektor sejajar jika salah satunya kelipatan skalar yang lain.

Contoh dikerjakan

Tentukan sudut antara $a = (12)$ dan $b = (34)$ .

01Hitung hasil kali titik dari komponen.
$a \cdot b = 1 (3) + 2 (4) = 3 + 8 = 11$
02Hitung panjang masing-masing.
$∣ a ∣ = 1 + 4 = 5, ∣ b ∣ = 9 + 16 = 5$
03Susun rumus kosinus.
$cos θ = \frac{11}{5 \cdot 5} = \frac{11}{5 5} \approx 0, 9839$
04Ambil sudutnya.
$θ = arccos (0, 9839) \approx 10, 3°$
Kenapa
Hasilnya sudut kecil. Itu masuk akal: kedua vektor sama-sama mengarah ke kanan atas, sehingga hampir searah.
05Periksa kewajaran.
Kenapa
Karena hasil kali titiknya positif dan besar, sudutnya harus lancip dan kecil. Kalau perhitungan memberi sudut tumpul, ada tanda yang salah.

Lihat jawaban

$θ \approx 10, 3°$ .

Contoh dikerjakan

Tanpa dipandu: tentukan $k$ agar $u = (2 k)$ tegak lurus $v = (2 - 1)$ .

Ketegaklurusan punya satu syarat saja. Gunakan syarat itu.

01Tulis syarat tegak lurus.
$u \cdot v = 0$
02Hitung hasil kali titiknya.
$2 (2) + k (- 1) = 4 - k = 0$
03Selesaikan.
$k = 4$
04Periksa.
$(2) (2) + (4) (- 1) = 4 - 4 = 0 ✓$

Lihat jawaban

$k = 4$ .

Proyeksi vektor

Proyeksi $a$ pada $b$ adalah bayangan $a$ bila disorot searah $b$ — yaitu komponen $a$ yang sejajar dengan $b$ .

proy_{b} a = (\frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{2}}) b

Pembaginya

∣ b ∣^{2}

, bukan

∣ b ∣

. Hasilnya berupa vektor, bukan skalar.

Panjang proyeksinya (proyeksi skalar) dihitung tanpa arah:

∣ proy_{b} a ∣ = \frac{∣ a \cdot b ∣}{∣ b ∣}

Contoh dikerjakan

Tentukan proyeksi $a = (12)$ pada $b = (34)$ .

01Hitung hasil kali titik dan $∣ b ∣^{2}$ .
$a \cdot b = 11, ∣ b ∣^{2} = 25$
02Kalikan faktor skalarnya dengan $b$ .
$proy = \frac{11}{25} (34) = (1, 32 1, 76)$
03Periksa panjang proyeksinya.
$1, 3 2^{2} + 1, 7 6^{2} = 1, 7424 + 3, 0976 = 4, 84 = 2, 2$
Kenapa
Nilai itu sama dengan $\frac{11}{5} = 2, 2$ , sesuai rumus proyeksi skalar. Cocok.

Lihat jawaban

$proy_{b} a = (1, 32 1, 76)$ .

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Menghitung hasil kali titik per komponen secara salah posisi

Jawaban khas: $(1, 2) \cdot (3, 4)$ dihitung sebagai $1 (4) + 2 (3) = 10$
Kenapa keliru: Hasil kali titik memasangkan komponen yang seposisi: pertama dengan pertama, kedua dengan kedua. Mencampur posisi memberi angka yang salah.
Contoh tandingan: Nilai yang benar $1 (3) + 2 (4) = 11$ , bukan 10. Selisihnya kecil, sehingga kesalahan ini sering lolos tanpa disadari.

Miskonsepsi

Menganggap hasil kali titik nol berarti salah satu vektor nol

Jawaban khas: $a \cdot b = 0$ disimpulkan $a = 0$
Kenapa keliru: Nol juga muncul saat kedua vektor tegak lurus, karena $cos 90° = 0$ . Itu justru kasus yang paling sering dimaksud soal.
Contoh tandingan: $(2, 1) \cdot (1, - 2) = 2 - 2 = 0$ , padahal kedua vektor bukan vektor nol. Keduanya tegak lurus.

Miskonsepsi

Membagi proyeksi dengan $∣ b ∣$ , bukan $∣ b ∣^{2}$

Jawaban khas: $proy = \frac{a \cdot b}{∣ b ∣} b$
Kenapa keliru: Rumus proyeksi membutuhkan faktor skalar yang membuat hasilnya berpanjang tepat sebesar proyeksi skalar. Faktor itu $\frac{a \cdot b}{∣ b ∣ ^{2}}$ .
Contoh tandingan: Dengan $a \cdot b = 11$ dan $∣ b ∣ = 5$ : rumus yang benar memberi panjang $2, 2$ . Kalau dibagi 5 saja lalu dikalikan $b$ , panjangnya menjadi $11$ — lima kali terlalu panjang.

Latihan

Latihan 4.3 — hasil kali titik

Kerjakan dulu sebelum membuka kunci. Menebak lalu memeriksa lebih baik daripada membaca jawaban lebih awal.

01 $(23) \cdot (4 - 1) = \dots$
1. A5
2. B11
3. C $- 5$
4. D8
Pembahasan
$2 (4) + 3 (- 1) = 8 - 3 = 5$ . Pilihan 11 muncul dari penjumlahan tanpa memperhatikan tanda negatif.
02Vektor $(12)$ tegak lurus dengan …
1. A $(2 - 1)$
2. B $(12)$
3. C $(21)$
4. D $(- 1 2)$
Pembahasan
$1 (2) + 2 (- 1) = 0$ . Pilihan $(- 1, 2)$ memberi $- 1 + 4 = 3$ , tidak nol.
03Jika $a \cdot b < 0$ , maka sudut antara keduanya …
1. Atumpul
2. Blancip
3. Ctegak lurus
4. Dnol
Pembahasan
Hasil kali titik negatif berarti $cos θ < 0$ , yang terjadi untuk $90° < θ \leq 180°$ .
04Sudut antara $(1, 0)$ dan $(0, 1)$ adalah …
1. A $90°$
2. B $0°$
3. C $45°$
4. D $180°$
Pembahasan
Hasil kali titiknya $1 (0) + 0 (1) = 0$ , sehingga $cos θ = 0$ dan $θ = 90°$ .
05Proyeksi $(3, 4)$ pada $(1, 0)$ adalah …
1. A $(30)$
2. B $(03)$
3. C $(34)$
4. D $(10)$
Pembahasan
$a \cdot b = 3$ dan $∣ b ∣^{2} = 1$ , sehingga proyeksinya $3 (1, 0) = (3, 0)$ — yaitu komponen mendatar dari $(3, 4)$ .

Yang perlu diingat

$a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ .
Hasilnya skalar, bukan vektor.
$cos θ = \frac{a \cdot b}{∣ a ∣∣ b ∣}$ .
$a \cdot b = 0 ⟺$ tegak lurus.
Hasil negatif berarti sudut tumpul.
Proyeksi dibagi $∣ b ∣^{2}$ , bukan $∣ b ∣$ .

Rujukan kurikulum

Fase F, elemen Geometri — peserta didik dapat melakukan operasi aljabar pada vektor dan melakukan pembuktian geometris.

Dua cara menghitung hasil kali titik

Menguji ketegaklurusan dan kesejajaran

Contoh dikerjakan

Tentukan sudut antara a=(12​) dan b=(34​).

Tanpa dipandu: tentukan k agar u=(2k​) tegak lurus v=(2−1​).

Proyeksi vektor

Tentukan proyeksi a=(12​) pada b=(34​).

Miskonsepsi yang sering muncul

Menghitung hasil kali titik per komponen secara salah posisi

Menganggap hasil kali titik nol berarti salah satu vektor nol

Membagi proyeksi dengan ∣b∣, bukan ∣b∣2

Latihan

Latihan 4.3 — hasil kali titik

Yang perlu diingat

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Tentukan sudut antara $a = (12)$ dan $b = (34)$ .

Tanpa dipandu: tentukan $k$ agar $u = (2 k)$ tegak lurus $v = (2 - 1)$ .

Tentukan proyeksi $a = (12)$ pada $b = (34)$ .

Membagi proyeksi dengan $∣ b ∣$ , bukan $∣ b ∣^{2}$