Translasi dan refleksi — SMA Tingkat Lanjut Kelas XI

Translasi: pergeseran

Translasi menggeser setiap titik sejauh vektor tertentu. Bentuk dan orientasi bangun tidak berubah — hanya letaknya.

(x^{'} y^{'}) = (x y) + (a b)

Titik

(x, y)

bergeser sejauh

a

mendatar dan

b

tegak.

Translasi adalah satu-satunya transformasi yang tidak dapat ditulis sebagai perkalian matriks $2 \times 2$ biasa, karena perkalian matriks selalu memetakan titik asal ke titik asal. Untuk alasan itu translasi ditulis sebagai penambahan.

Refleksi: pencerminan

Refleksi memindahkan titik ke seberang garis cermin dengan jarak yang sama. Berbeda dari translasi, refleksi membalik orientasi — bangun hasilnya menghadap arah berlawanan.

Garis cermin	Aturan	Matriks
Sumbu- $x$	$(x, - y)$	$(10 0 - 1)$
Sumbu- $y$	$(- x, y)$	$(- 1 0 01)$
$y = x$	$(y, x)$	$(0110)$
$y = - x$	$(- y, - x)$	$(0 - 1 - 1 0)$
Titik asal	$(- x, - y)$	$(- 1 0 0 - 1)$

Contoh dikerjakan

Tentukan bayangan $A (3, 2)$ oleh refleksi terhadap sumbu- $x$ , lalu terhadap garis $y = x$ .

01Refleksi terhadap sumbu- $x$ : ordinat berganti tanda.
$A (3, 2) \to A^{'} (3, - 2)$
Kenapa
Jarak ke sumbu- $x$ tetap 2, hanya arahnya ke bawah.
02Refleksi terhadap $y = x$ : koordinat bertukar.
$A^{'} (3, - 2) \to A^{''} (- 2, 3)$
03Periksa dengan matriks.
$(0110) (10 0 - 1) (32) = (0110) (3 - 2) = (- 2 3)$
Kenapa
Hasilnya cocok. Urutan matriks di sini penting: yang dikerjakan lebih dulu ditulis paling kanan.

Lihat jawaban

Bayangan akhirnya $A^{''} (- 2, 3)$ .

Contoh translasi

Contoh dikerjakan

Titik $B (1, - 4)$ ditranslasi oleh $(- 3 5)$ , lalu oleh $(62)$ . Tentukan bayangan akhirnya.

01Translasi pertama.
$B^{'} = (1 - 3, - 4 + 5) = (- 2, 1)$
02Translasi kedua.
$B^{''} = (- 2 + 6, 1 + 2) = (4, 3)$
03Bandingkan dengan menjumlahkan vektornya lebih dulu.
$(- 3 5) + (62) = (37), (1 + 3, - 4 + 7) = (4, 3)$
Kenapa
Hasilnya sama. Dua translasi berurutan setara dengan satu translasi sebesar jumlah vektornya — sifat ini berlaku khusus untuk translasi.

Lihat jawaban

$B^{''} (4, 3)$ .

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Menganggap refleksi mempertahankan orientasi

Jawaban khas: Menyimpulkan bangun hasil refleksi kongruen "sama persis" dengan aslinya, termasuk arahnya
Kenapa keliru: Refleksi memang mempertahankan jarak dan besar sudut, tetapi membalik orientasi. Bangun hasilnya adalah cerminan, bukan salinan yang digeser. Pada bangun berlabel, urutan titik sudut menjadi terbalik.
Contoh tandingan: Segitiga dengan titik $A (0, 0)$ , $B (2, 0)$ , $C (0, 1)$ urut berlawanan arah jarum jam. Setelah dicerminkan terhadap sumbu- $x$ , hasilnya $A^{'} (0, 0)$ , $B^{'} (2, 0)$ , $C^{'} (0, - 1)$ urut searah jarum jam. Orientasinya berbalik.

Miskonsepsi

Menukar aturan refleksi terhadap sumbu- $x$ dan sumbu- $y$

Jawaban khas: Menganggap refleksi terhadap sumbu- $x$ mengubah absis
Kenapa keliru: Refleksi terhadap sumbu- $x$ memantulkan secara vertikal, jadi yang berubah adalah ordinat. Sumbu- $y$ sebaliknya.
Contoh tandingan: $(3, 2)$ dicerminkan terhadap sumbu- $x$ menjadi $(3, - 2)$ — absisnya tetap 3. Kalau absis yang berubah, hasilnya $(- 3, 2)$ , yang justru pencerminan terhadap sumbu- $y$ .

Miskonsepsi

Mengira translasi dapat ditulis sebagai matriks $2 \times 2$

Jawaban khas: Mencari matriks $2 \times 2$ yang menggeser setiap titik sejauh $(a, b)$
Kenapa keliru: Perkalian matriks $2 \times 2$ selalu memetakan $(0, 0)$ ke $(0, 0)$ . Translasi memetakan $(0, 0)$ ke $(a, b)$ , sehingga tidak mungkin diwakili matriks semacam itu.
Contoh tandingan: Untuk $a = 3$ : translasi memindahkan $(0, 0)$ ke $(3, 0)$ . Matriks apa pun yang dikalikan dengan vektor nol selalu menghasilkan vektor nol, jadi hasil $(3, 0)$ mustahil diperoleh.

Latihan

Latihan 5.1 — translasi dan refleksi

Kerjakan dulu sebelum membuka kunci. Menebak lalu memeriksa lebih baik daripada membaca jawaban lebih awal.

01Bayangan $A (2, - 3)$ oleh translasi $(45)$ adalah …
1. A $(6, 2)$
2. B $(- 2, - 8)$
3. C $(6, - 8)$
4. D $(2, 2)$
Pembahasan
$(2 + 4, - 3 + 5) = (6, 2)$ . Pilihan $(- 2, - 8)$ muncul dari pengurangan alih-alih penambahan.
02Bayangan $(5, 1)$ oleh refleksi terhadap sumbu- $y$ adalah …
1. A $(- 5, 1)$
2. B $(5, - 1)$
3. C $(1, 5)$
4. D $(- 1, - 5)$
Pembahasan
Refleksi terhadap sumbu- $y$ mengubah tanda absis: $(- x, y) = (- 5, 1)$ . Pilihan $(5, - 1)$ adalah refleksi terhadap sumbu- $x$ .
03Bayangan $(4, - 2)$ oleh refleksi terhadap garis $y = x$ adalah …
1. A $(- 2, 4)$
2. B $(2, - 4)$
3. C $(4, 2)$
4. D $(- 4, 2)$
Pembahasan
Refleksi terhadap $y = x$ menukar koordinat: $(y, x) = (- 2, 4)$ .
04Transformasi yang tidak dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks $2 \times 2$ adalah …
1. Atranslasi
2. Brefleksi terhadap sumbu- $x$
3. Crotasi $90°$
4. Ddilatasi berpusat di titik asal
Pembahasan
Perkalian matriks selalu memetakan titik asal ke titik asal. Translasi memindahkan titik asal, sehingga harus ditulis sebagai penambahan.
05Dua translasi berurutan sebesar $(2, 3)$ lalu $(- 5, 1)$ setara dengan satu translasi …
1. A $(- 3, 4)$
2. B $(7, 2)$
3. C $(- 3, 2)$
4. D $(3, - 4)$
Pembahasan
$(2, 3) + (- 5, 1) = (- 3, 4)$ . Translasi bersifat komutatif, jadi urutannya tidak berpengaruh.

Yang perlu diingat

Translasi ditulis sebagai penambahan vektor, bukan perkalian matriks.
Refleksi sumbu- $x$ : $(x, - y)$ ; sumbu- $y$ : $(- x, y)$ .
Refleksi $y = x$ : $(y, x)$ ; $y = - x$ : $(- y, - x)$ .
Refleksi membalik orientasi; translasi tidak.
Dua translasi berurutan = jumlah vektornya.

Rujukan kurikulum

Fase F, elemen Aljabar dan Fungsi — peserta didik dapat melakukan operasi aljabar pada matriks dan menerapkannya dalam transformasi geometri.

Translasi: pergeseran

Refleksi: pencerminan

Tentukan bayangan A(3,2) oleh refleksi terhadap sumbu-x, lalu terhadap garis y=x.

Contoh translasi

Titik B(1,−4) ditranslasi oleh (−35​), lalu oleh (62​). Tentukan bayangan akhirnya.

Miskonsepsi yang sering muncul

Menganggap refleksi mempertahankan orientasi

Menukar aturan refleksi terhadap sumbu-x dan sumbu-y

Mengira translasi dapat ditulis sebagai matriks 2×2

Latihan

Latihan 5.1 — translasi dan refleksi

Yang perlu diingat

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Tentukan bayangan $A (3, 2)$ oleh refleksi terhadap sumbu- $x$ , lalu terhadap garis $y = x$ .

Titik $B (1, - 4)$ ditranslasi oleh $(- 3 5)$ , lalu oleh $(62)$ . Tentukan bayangan akhirnya.

Menukar aturan refleksi terhadap sumbu- $x$ dan sumbu- $y$

Mengira translasi dapat ditulis sebagai matriks $2 \times 2$