Polinomial dan derajatnya — SMA Tingkat Lanjut Kelas XI

Apa yang boleh dan tidak boleh

Polinomial dalam variabel $x$ adalah jumlah suku berbentuk $a_{n} x^{n}$ , dengan $a_{n}$ bilangan real dan $n$ bilangan cacah (0, 1, 2, …).

P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}, a_{n} \neq = 0

Bentuk	Polinomial?	Alasan
$3 x^{2} - 5 x + 1$	Ya	Semua pangkat bilangan cacah
$x^{- 2} + 4$	Tidak	Pangkat negatif
$x + 1$	Tidak	Sama dengan $x^{1/2}$ , pangkat pecahan
$\frac{2}{x}$	Tidak	Variabel di penyebut
$5$	Ya	Polinomial berderajat 0 (konstanta)
$0$	Ya, tetapi khusus	Polinomial nol; derajatnya tidak didefinisikan

Derajat dan koefisien

Derajat adalah pangkat tertinggi yang koefisiennya tidak nol. Derajat menentukan banyak hal sekaligus: jumlah maksimum pembuat nol, bentuk ujung grafik, dan banyaknya titik belok.

Pada $P (x) = 2 x^{4} - 7 x^{3} + x - 9$ , derajatnya 4, koefisien utamanya 2 (koefisien $x^{4}$ ), dan sukunya ada empat. Suku $x^{2}$ tidak muncul karena koefisiennya nol — bukan karena tidak ada.

Menghitung nilai: substitusi dan Horner

Nilai $P (c)$ diperoleh dengan mengganti $x$ dengan $c$ . Cara langsung bisa melelahkan untuk pangkat tinggi dan angka besar, sehingga dipakai skema Horner yang menghemat perkalian.

P (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{0} ⟹ P (x) = ((a_{n} x + a_{n - 1}) x + a_{n - 2}) x + \dots + a_{0}

Setiap langkah hanya mengalikan dengan

x

lalu menambah satu koefisien. Tidak ada pemangkatan.

Contoh dikerjakan

Hitung $P (2)$ untuk $P (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - 4$ dengan skema Horner.

01Tulis koefisien berurutan, termasuk yang nol.
$2 - 53 - 4$
Kenapa
Semua pangkat dari 3 turun ke 0 harus terwakili. Kalau ada pangkat yang hilang, tulis 0 — kalau tidak, seluruh susunan bergeser dan hasilnya salah.
02Turunkan koefisien pertama.
$2$
03Kalikan dengan 2, tambahkan ke koefisien berikutnya.
$2 \cdot 2 + (- 5) = - 1$
04Ulangi.
$(- 1) (2) + 3 = 1, (1) (2) + (- 4) = - 2$
05Angka terakhir adalah nilainya.
$P (2) = - 2$
06Periksa dengan substitusi langsung.
$2 (8) - 5 (4) + 3 (2) - 4 = 16 - 20 + 6 - 4 = - 2$
Kenapa
Cocok. Pemeriksaan ini murah karena hanya butuh beberapa perkalian.

Lihat jawaban

$P (2) = - 2$ .

Pangkat tertinggi	Banyak perkalian (langsung)	Banyak perkalian (Horner)
3	6	3
5	15	5
10	55	10

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Menganggap bentuk berpangkat negatif atau pecahan sebagai polinomial

Jawaban khas: $P (x) = x^{- 1} + x^{1/2}$ dianggap polinomial berderajat 1
Kenapa keliru: Polinomial mensyaratkan pangkat bilangan cacah. Pangkat negatif dan pecahan melanggar syarat itu, sehingga bentuk tersebut bukan polinomial sama sekali.
Contoh tandingan: $x^{- 1} = \frac{1}{x}$ tidak terdefinisi di $x = 0$ , sedangkan setiap polinomial selalu terdefinisi di semua bilangan real. Perbedaan perilaku itu menunjukkan keduanya bukan keluarga yang sama.

Miskonsepsi

Melewatkan koefisien nol pada skema Horner

Jawaban khas: Menulis koefisien $x^{3} - 2 x + 5$ sebagai $1, - 2, 5$
Kenapa keliru: Pangkat yang hilang tetap menempati posisi. Tanpa angka 0 untuk $x^{2}$ , susunan koefisiennya bergeser dan hasilnya salah total.
Contoh tandingan: Koefisien yang benar adalah $1, 0, - 2, 5$ — empat angka untuk pangkat 3, 2, 1, 0. Dengan tiga angka, $P (1)$ terhitung sebagai $- 2$ padahal nilai sebenarnya $1 - 2 + 5 = 4$ .

Miskonsepsi

Menganggap derajat sama dengan banyak suku

Jawaban khas: $x^{5} + 1$ dianggap berderajat 2 karena hanya punya dua suku
Kenapa keliru: Derajat ditentukan pangkat tertinggi, bukan banyaknya suku. Suku-suku yang koefisiennya nol tidak menambah derajat.
Contoh tandingan: Grafik $y = x^{5} + 1$ naik jauh lebih cepat daripada parabola mana pun. Bentuk ujung grafik itu menunjukkan derajatnya 5, bukan 2.

Latihan

Latihan 2.1 — derajat dan nilai

Kerjakan dulu sebelum membuka kunci. Menebak lalu memeriksa lebih baik daripada membaca jawaban lebih awal.

01Derajat polinomial $4 x^{3} - x^{7} + 2 x$ adalah …
1. A7
2. B3
3. C6
4. D1
Pembahasan
Pangkat tertinggi adalah 7, walaupun suku itu ditulis di tengah. Urutan penulisan tidak menentukan derajat.
02Manakah yang bukan polinomial?
1. A $\frac{3}{x} + x^{2}$
2. B $x^{2} - 3$
3. C $5 x^{4}$
4. D $7$
Pembahasan
$\frac{3}{x} = 3 x^{- 1}$ berpangkat negatif. Pilihan $x^{2} - 3$ tetap polinomial: yang berakar adalah konstanta, bukan variabelnya.
03Nilai $P (2)$ untuk $P (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - 4$ adalah …
1. A $- 2$
2. B2
3. C $- 14$
4. D10
Pembahasan
$2 (8) - 5 (4) + 3 (2) - 4 = 16 - 20 + 6 - 4 = - 2$ . Lewat Horner: baris koefisien $2, - 5, 3, - 4$ menghasilkan sisa $- 2$ .
04Koefisien-koefisien yang benar untuk skema Horner pada $P (x) = x^{3} - 2 x + 5$ adalah …
1. A $1, 0, - 2, 5$
2. B $1, - 2, 5$
3. C $1, - 2, 0, 5$
4. D $1, 1, - 2, 5$
Pembahasan
Pangkat $x^{2}$ tidak muncul, jadi koefisiennya 0. Empat angka diperlukan untuk pangkat 3, 2, 1, dan 0.
05Polinomial berderajat 5 memiliki paling banyak … pembuat nol real.
1. A5
2. B4
3. C6
4. Dtak berhingga
Pembahasan
Polinomial berderajat $n$ memiliki paling banyak $n$ pembuat nol real. Bisa kurang dari 5, misalnya jika sebagian akarnya bilangan kompleks atau berulang.

Yang perlu diingat

Polinomial hanya boleh berpangkat bilangan cacah dengan koefisien real.
Derajat = pangkat tertinggi dengan koefisien tidak nol.
Skema Horner menghemat perkalian dan sekaligus memberi hasil bagi.
Koefisien untuk pangkat yang hilang wajib ditulis 0.
Polinomial berderajat $n$ punya paling banyak $n$ pembuat nol real.

Rujukan kurikulum

Fase F, elemen Aljabar dan Fungsi — peserta didik dapat melakukan operasi aritmetika pada polinomial (suku banyak).

Apa yang boleh dan tidak boleh

Derajat dan koefisien

Menghitung nilai: substitusi dan Horner

Hitung P(2) untuk P(x)=2x3−5x2+3x−4 dengan skema Horner.

Miskonsepsi yang sering muncul

Menganggap bentuk berpangkat negatif atau pecahan sebagai polinomial

Melewatkan koefisien nol pada skema Horner

Menganggap derajat sama dengan banyak suku

Latihan

Latihan 2.1 — derajat dan nilai

Yang perlu diingat

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Hitung $P (2)$ untuk $P (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + 3 x - 4$ dengan skema Horner.