Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan matriks — SMA Tingkat Lanjut Kelas XI

Menulis sistem sebagai satu persamaan

Sistem $2 x + 3 y = 12$ dan $x - y = 1$ dapat ditulis sebagai satu persamaan matriks. Koefisien menjadi matriks, variabel menjadi vektor kolom, dan ruas kanan menjadi vektor kolom lain.

(21 3 - 1) (x y) = (121)

Bentuk

A X = B

. Matriks

A

memuat koefisien,

X

memuat variabel,

B

memuat konstanta.

Kalau $det A \neq = 0$ , maka $A$ punya invers dan solusinya tunggal:

X = A^{- 1} B

Aturan Cramer

Ada cara yang lebih cepat daripada menghitung invers penuh, yaitu dengan mengganti satu kolom koefisien dengan kolom konstanta.

x = \frac{det A _{x}}{det A}, y = \frac{det A _{y}}{det A}

A_{x}

adalah

A

dengan kolom pertama diganti

B

;

A_{y}

dengan kolom kedua diganti

B

Contoh dikerjakan

Selesaikan $2 x + 3 y = 12$ dan $x - y = 1$ dengan aturan Cramer.

01Hitung determinan matriks koefisien.
$det A = 2 (- 1) - 3 (1) = - 2 - 3 = - 5$
Kenapa
Karena $det A \neq = 0$ , solusinya tunggal dan aturan Cramer boleh dipakai.
02Ganti kolom pertama dengan konstanta, lalu hitung.
$det A_{x} = 121 3 - 1 = - 12 - 3 = - 15$
03Ganti kolom kedua.
$det A_{y} = 21121 = 2 - 12 = - 10$
04Bagi masing-masing.
$x = \frac{- 15}{- 5} = 3, y = \frac{- 10}{- 5} = 2$
05Periksa pada persamaan asal.
$2 (3) + 3 (2) = 12 ✓, 3 - 2 = 1 ✓$

Lihat jawaban

$x = 3$ dan $y = 2$ .

Sistem tiga variabel

Bentuknya sama, hanya ordonya bertambah. Aturan Cramer tetap bekerja dengan mengganti satu kolom setiap kali.

a_{1} a_{2} a_{3} b_{1} b_{2} b_{3} c_{1} c_{2} c_{3} x y z = d_{1} d_{2} d_{3}

Ketika determinan nol

Kalau $det A = 0$ , aturan Cramer tidak bisa dipakai karena pembaginya nol. Namun itu bukan berarti soal selesai — justru di sinilah ada dua kemungkinan yang sangat berbeda.

Kondisi	Artinya	Solusi
$det A \neq = 0$	Kedua persamaan saling bebas	Tepat satu solusi
$det A = 0$ , sistem konsisten	Satu persamaan kelipatan yang lain	Tak berhingga solusi
$det A = 0$ , sistem tidak konsisten	Dua garis sejajar	Tidak ada solusi

Untuk membedakan dua kemungkinan terakhir, periksa apakah rasio koefisiennya seragam. Kalau $\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{d _{1}}{d _{2}}$ , garisnya berimpit. Kalau hanya koefisien variabel yang seragam tetapi konstanta tidak, garisnya sejajar.

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Menganggap determinan nol berarti tidak ada solusi

Jawaban khas: Melihat $det A = 0$ lalu langsung menyimpulkan sistem tidak punya penyelesaian
Kenapa keliru: Determinan nol hanya berarti solusinya tidak tunggal. Bisa jadi tidak ada, bisa juga tak berhingga. Dua kemungkinan itu harus dibedakan.
Contoh tandingan: Sistem $x + y = 2$ dan $2 x + 2 y = 4$ punya $det = 0$ , tetapi solusinya tak berhingga karena persamaan kedua hanyalah dua kali persamaan pertama.

Miskonsepsi

Menukar kolom yang diganti pada aturan Cramer

Jawaban khas: Mengganti kolom kedua untuk mencari $x$
Kenapa keliru: Kolom yang diganti harus sesuai variabel yang dicari: kolom pertama untuk $x$ , kedua untuk $y$ , ketiga untuk $z$ . Menukarnya memberi nilai variabel lain.
Contoh tandingan: Pada sistem di atas, $det A_{x} = - 15$ memberi $x = 3$ . Kalau kolom yang diganti tertukar, hasilnya $x = 2$ dan $y = 3$ — dan tidak memenuhi persamaan kedua.

Miskonsepsi

Lupa memeriksa sehingga tanda salah tidak terdeteksi

Jawaban khas: Langsung menuliskan jawaban tanpa memasukkannya kembali
Kenapa keliru: Kesalahan tanda pada determinan hampir selalu menghasilkan jawaban yang tampak wajar. Tanpa pemeriksaan, kesalahan itu lolos.
Contoh tandingan: Memasukkan $(3, 2)$ ke persamaan kedua memberi $3 - 2 = 1$ , cocok. Memasukkan $(2, 3)$ memberi $2 - 3 = - 1$ , jelas tidak cocok. Pemeriksaan memakan waktu beberapa detik.

Latihan

Latihan 1.5 — sistem persamaan linear

Kerjakan dulu sebelum membuka kunci. Menebak lalu memeriksa lebih baik daripada membaca jawaban lebih awal.

01Sistem $x + y = 5$ dan $x - y = 1$ memiliki solusi …
1. A $x = 3$ , $y = 2$
2. B $x = 2$ , $y = 3$
3. C $x = 4$ , $y = 1$
4. D $x = 5$ , $y = 0$
Pembahasan
$det A = - 2$ . $det A_{x} = - 6$ sehingga $x = 3$ , dan $det A_{y} = - 4$ sehingga $y = 2$ . Pemeriksaan: $3 + 2 = 5$ dan $3 - 2 = 1$ .
02Jika $det A = 0$ pada sistem $A X = B$ , maka …
1. Asolusinya tidak tunggal — bisa tidak ada atau tak berhingga
2. Btidak ada solusi
3. Csolusinya tak berhingga
4. Dsolusinya tunggal
Pembahasan
Determinan nol hanya menyingkirkan kemungkinan solusi tunggal. Perlu diperiksa lebih lanjut untuk membedakan dua kemungkinan sisanya.
03Sistem $2 x + 4 y = 6$ dan $x + 2 y = 5$ memiliki …
1. Atidak ada solusi
2. Btepat satu solusi
3. Ctak berhingga solusi
4. Ddua solusi
Pembahasan
$det = 2 (2) - 4 (1) = 0$ . Rasio koefisien $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = 2$ , tetapi rasionya terhadap konstanta berbeda ( $\frac{6}{5} \neq = 2$ ). Kedua garis sejajar, jadi tidak ada solusi.
04Pada aturan Cramer untuk sistem dua variabel, $det A_{y}$ diperoleh dengan …
1. Amengganti kolom kedua matriks koefisien dengan kolom konstanta
2. Bmengganti kolom pertama dengan kolom konstanta
3. Cmenghapus baris kedua
4. Dmentranspos matriks koefisien
Pembahasan
Kolom kedua bersesuaian dengan variabel $y$ , jadi kolom itulah yang diganti. Mengganti kolom pertama akan menghasilkan $det A_{x}$ .
05Sistem $3 x + 6 y = 9$ dan $x + 2 y = 3$ memiliki …
1. Atak berhingga solusi
2. Btidak ada solusi
3. Ctepat satu solusi $(1, 1)$
4. Dtepat satu solusi $(3, 0)$
Pembahasan
$det = 0$ dan seluruh rasio seragam ( $\frac{3}{1} = \frac{6}{2} = \frac{9}{3} = 3$ ), sehingga kedua garis berimpit. Solusinya tak berhingga.

Yang perlu diingat

Sistem linear dapat ditulis sebagai $A X = B$ .
$det A \neq = 0$ → solusi tunggal, $X = A^{- 1} B$ .
Aturan Cramer: $x = \frac{d e t A _{x}}{d e t A}$ , dengan kolom yang sesuai diganti.
$det A = 0$ → tidak tunggal; periksa rasio untuk membedakan tak berhingga atau tidak ada.
Selalu periksa dengan memasukkan jawaban ke persamaan asal.

Rujukan kurikulum

Fase F, elemen Aljabar dan Fungsi — peserta didik dapat melakukan operasi aljabar pada matriks.

Menulis sistem sebagai satu persamaan

Aturan Cramer

Selesaikan 2x+3y=12 dan x−y=1 dengan aturan Cramer.

Sistem tiga variabel

Ketika determinan nol

Miskonsepsi yang sering muncul

Menganggap determinan nol berarti tidak ada solusi

Menukar kolom yang diganti pada aturan Cramer

Lupa memeriksa sehingga tanda salah tidak terdeteksi

Latihan

Latihan 1.5 — sistem persamaan linear

Yang perlu diingat

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Selesaikan $2 x + 3 y = 12$ dan $x - y = 1$ dengan aturan Cramer.