Invers matriks — SMA Tingkat Lanjut Kelas XI

Apa yang dimaksud membatalkan

Pada bilangan, $3 \times \frac{1}{3} = 1$ . Peran angka 1 di sini penting: ia adalah unsur yang tidak mengubah apa pun saat dikalikan. Pada matriks, peran itu dipegang matriks identitas $I$ .

A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A = I

Dari definisi itu langsung terlihat mengapa invers hanya ada untuk matriks persegi: hanya matriks persegi yang bisa menghasilkan $I$ dari kedua sisi.

Invers $2 \times 2$

A = (a c b d) ⟹ A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a)

Polanya mudah diingat: tukar posisi unsur diagonal utama, ubah tanda unsur diagonal lainnya, lalu bagi dengan determinan.

Contoh dikerjakan

Tentukan invers sebuah matriks $2 \times 2$ dan periksa hasilnya.

Diketahui $A = (4635)$ . Hitung inversnya, lalu pastikan hasilnya benar.

01Hitung determinan lebih dulu.
$det A = 4 (5) - 3 (6) = 20 - 18 = 2$
Kenapa
Kalau hasilnya nol, langkah berikutnya tidak perlu dilanjutkan — inversnya tidak ada.
02Tukar diagonal utama, ubah tanda yang lain.
$(5 - 6 - 3 4)$
03Bagi dengan determinan.
$A^{- 1} = \frac{1}{2} (5 - 6 - 3 4) = (2, 5 - 3 - 1, 5 2)$
04Periksa dengan mengalikan.
$A A^{- 1} = (4 (2, 5) + 3 (- 3) 6 (2, 5) + 5 (- 3) 4 (- 1, 5) + 3 (2) 6 (- 1, 5) + 5 (2)) = (1001)$
Kenapa
Hasilnya harus persis identitas. Ini pemeriksaan yang murah dan menangkap hampir semua kesalahan tanda.

Lihat jawaban

$A^{- 1} = (2, 5 - 3 - 1, 5 2)$ .

Invers $3 \times 3$ lewat adjoin

Untuk ordo 3, invers dihitung dari matriks kofaktor:

A^{- 1} = \frac{1}{det A} adj (A), adj (A) = (C_{ij})^{T}

Adjoin adalah transpos dari matriks kofaktor. Lupa mentranspos adalah kesalahan paling sering pada langkah ini.

Hitung semua kofaktor $C_{ij}$ beserta tandanya.
Susun menjadi matriks kofaktor.
Transpos matriks itu untuk memperoleh adjoin.
Bagi dengan determinan.

Menyelesaikan persamaan matriks

Invers dipakai untuk menyelesaikan persamaan berbentuk $A X = B$ dengan cara mengalikan kedua ruas dari kiri dengan $A^{- 1}$ :

A X = B ⟹ X = A^{- 1} B

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Membagi matriks dengan determinan, bukan mengalikan kebalikannya

Jawaban khas: Menulis $A^{- 1} = (d / det - c / det - b / det a / det)$ sebagai pembagian matriks
Kenapa keliru: Pembagian matriks tidak didefinisikan. Yang dilakukan adalah perkalian skalar dengan $\frac{1}{d e t A}$ . Hasil angkanya kebetulan sama, tetapi cara berpikirnya salah dan berbahaya saat determinan berupa pecahan.
Contoh tandingan: Untuk $det A = 2$ , bentuk yang benar adalah $\frac{1}{2} (d - c - b a)$ . Menuliskan setiap unsur dibagi 2 memberi hasil sama, tetapi tidak lagi bisa dipakai saat menyelesaikan $A X = B$ , karena $A^{- 1}$ harus berupa satu matriks utuh.

Miskonsepsi

Lupa mentranspos matriks kofaktor

Jawaban khas: Memakai matriks kofaktor langsung sebagai adjoin
Kenapa keliru: Adjoin didefinisikan sebagai transpos kofaktor. Tanpa transpos, hasil perkalian $A \cdot adj (A)$ tidak akan memberi matriks diagonal.
Contoh tandingan: Periksa dengan mengalikan $A$ dengan adjoin yang dipakai. Kalau hasilnya bukan matriks diagonal dengan unsur sama, berarti transposnya terlewat.

Miskonsepsi

Menganggap semua matriks persegi punya invers

Jawaban khas: Menghitung invers matriks dengan $det = 0$ sampai selesai
Kenapa keliru: Determinan nol membuat pembagian tidak mungkin. Matriks singular memang tidak punya invers, sama seperti angka 0 tidak punya kebalikan.
Contoh tandingan: $(2142)$ memiliki $det = 4 - 4 = 0$ . Tidak ada matriks yang dapat mengembalikan bidang yang sudah dimampatkan menjadi garis.

Latihan

Latihan 1.4 — invers

Kerjakan dulu sebelum membuka kunci. Menebak lalu memeriksa lebih baik daripada membaca jawaban lebih awal.

01Invers dari $(2513)$ adalah …
1. A $(3 - 5 - 1 2)$
2. B $(3512)$
3. C $\frac{1}{11} (3 - 5 - 1 2)$
4. D $(- 3 5 1 - 2)$
Pembahasan
$det = 2 (3) - 1 (5) = 1$ . Karena determinannya 1, pembagian tidak mengubah apa pun, sehingga inversnya $(3 - 5 - 1 2)$ .
02Matriks berikut yang tidak memiliki invers adalah …
1. A $(1224)$
2. B $(1225)$
3. C $(2111)$
4. D $(3111)$
Pembahasan
$det = 1 (4) - 2 (2) = 0$ . Baris kedua dua kali baris pertama, sehingga matriksnya singular.
03Jika $A = (1324)$ dan $A X = B$ , maka $X$ adalah …
1. A $A^{- 1} B$
2. B $B A^{- 1}$
3. C $A B^{- 1}$
4. D $B^{- 1} A$
Pembahasan
Kalikan kedua ruas dari kiri dengan $A^{- 1}$ : $A^{- 1} A X = A^{- 1} B$ , sehingga $X = A^{- 1} B$ . Pilihan $B A^{- 1}$ berlaku untuk $X A = B$ .
04Diketahui $A = (4635)$ . Nilai $det (A^{- 1})$ adalah …
1. A $\frac{1}{2}$
2. B2
3. C $- 2$
4. D $\frac{1}{4}$
Pembahasan
$det A = 20 - 18 = 2$ , dan $det (A^{- 1}) = \frac{1}{d e t A} = \frac{1}{2}$ . Invers membalik faktor skala luas.
05Invers matriks identitas $I_{2}$ adalah …
1. A $I_{2}$ itu sendiri
2. B $2 I_{2}$
3. Cmatriks nol
4. Dtidak ada
Pembahasan
$I \cdot I = I$ , sehingga $I^{- 1} = I$ . Ini konsisten dengan $det I = 1$ , sehingga faktor pembaginya juga 1.

Yang perlu diingat

$A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A = I$ .
Invers ada jika dan hanya jika $det A \neq = 0$ .
Untuk $2 \times 2$ : tukar diagonal utama, ubah tanda yang lain, bagi determinan.
Untuk $3 \times 3$ : $A^{- 1} = \frac{1}{d e t A} adj (A)$ , dan adjoin adalah transpos kofaktor.
$A X = B \Rightarrow X = A^{- 1} B$ ; $X A = B \Rightarrow X = B A^{- 1}$ .
$det (A^{- 1}) = \frac{1}{d e t A}$ .

Rujukan kurikulum

Fase F, elemen Aljabar dan Fungsi — peserta didik dapat melakukan operasi aljabar pada matriks.

Apa yang dimaksud membatalkan

Invers 2×2

Tentukan invers sebuah matriks 2×2 dan periksa hasilnya.

Invers 3×3 lewat adjoin

Menyelesaikan persamaan matriks

Miskonsepsi yang sering muncul

Membagi matriks dengan determinan, bukan mengalikan kebalikannya

Lupa mentranspos matriks kofaktor

Menganggap semua matriks persegi punya invers

Latihan

Latihan 1.4 — invers

Yang perlu diingat

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Invers $2 \times 2$

Tentukan invers sebuah matriks $2 \times 2$ dan periksa hasilnya.

Invers $3 \times 3$ lewat adjoin