Determinan matriks — SMA Tingkat Lanjut Kelas XI

Apa yang diukur determinan

Kalau matriks $2 \times 2$ dipakai untuk mengubah posisi titik pada bidang, persegi satuan akan berubah menjadi jajar genjang. Determinan adalah luas jajar genjang itu.

A = (a c b d) ⟹ det A = a d - b c

Persegi satuan berluas 1 berubah menjadi bangun berluas

∣ a d - b c ∣

Tanda determinan menunjukkan apakah orientasi bidang terbalik. Nilai negatif berarti bangun terbalik seperti tercermin, bukan berarti luasnya negatif.

Determinan $3 \times 3$

Ada dua cara yang lazim. Aturan Sarrus cepat tetapi hanya berlaku untuk ordo 3. Ekspansi kofaktor lebih panjang, tetapi berlaku untuk ordo berapa pun.

det a d g b e h c f i = a e i + b f g + c d h - ce g - b d i - a f h

Aturan Sarrus: tiga hasil kali diagonal turun dikurangi tiga hasil kali diagonal naik.

Contoh dikerjakan

Hitung determinan $A = 1472583610$ dengan kedua cara.

01Cara Sarrus — diagonal turun.
$1 (5) (10) + 2 (6) (7) + 3 (4) (8) = 50 + 84 + 96 = 230$
02Diagonal naik.
$3 (5) (7) + 1 (6) (8) + 2 (4) (10) = 105 + 48 + 80 = 233$
03Kurangkan.
$det A = 230 - 233 = - 3$
04Cara ekspansi kofaktor sepanjang baris 1, sebagai pemeriksaan.
$1 (50 - 48) - 2 (40 - 42) + 3 (32 - 35) = 2 + 4 - 9 = - 3$
Kenapa
Kedua cara harus memberi hasil sama. Kalau berbeda, kesalahannya ada di tanda kofaktor — yaitu $(- 1)^{i + j}$ yang bergantian $+ - +$ .

Lihat jawaban

$det A = - 3$ .

Minor dan kofaktor

Minor $M_{ij}$ adalah determinan yang tersisa setelah baris $i$ dan kolom $j$ dihapus. Kofaktor menambahkan tanda posisi:

C_{ij} = (- 1)^{i + j} M_{ij}

Pola tandanya seperti papan catur, selalu dimulai positif di pojok kiri atas:

+ - + - + - + - +

Sifat determinan yang menghemat pekerjaan

Sifat	Akibat praktis
$det (A B) = det A \cdot det B$	Determinan hasil kali tidak perlu dihitung matriksnya dulu
$det (A^{T}) = det A$	Transpos tidak mengubah determinan
Baris/kolom berisi nol semua → $det = 0$	Langsung simpulkan tanpa menghitung
Dua baris identik → $det = 0$	Idem
Menukar dua baris → tanda berubah	Berguna untuk menyederhanakan
$det (k A) = k^{n} det A$ untuk ordo $n$	Skalar tidak keluar sebagai $k$ biasa

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Menganggap $det (A + B) = det A + det B$

Jawaban khas: $det ((1001) + (1001)) = 1 + 1 = 2$
Kenapa keliru: Penjumlahan dilakukan lebih dulu, baru determinan dihitung. Hasil keduanya tidak saling menambah seperti bilangan biasa.
Contoh tandingan: Jumlah kedua matriks itu adalah $(2002)$ , dan determinannya $4$ , bukan 2. Jadi sifat itu salah.

Miskonsepsi

Menganggap $det (k A) = k det A$

Jawaban khas: Untuk ordo $3$ , $det (2 A)$ dihitung sebagai $2 det A$
Kenapa keliru: Skalar mengalikan setiap unsur, dan pada ordo $n$ ada $n^{2}$ unsur. Faktor yang keluar adalah $k^{n}$ , bukan $k$ .
Contoh tandingan: Untuk $A = I_{3}$ dan $k = 2$ : $det (2 I_{3}) = 2^{3} \cdot 1 = 8$ , bukan 2. Matriksnya $200020002$ dan determinannya $8$ .

Miskonsepsi

Menganggap determinan selalu positif

Jawaban khas: Mengambil nilai mutlak secara otomatis setelah menghitung
Kenapa keliru: Determinan boleh negatif. Tandanya menunjukkan orientasi — apakah transformasi membalik bidang. Nilai mutlak hanya dipakai saat menghitung luas.
Contoh tandingan: Matriks $(0110)$ memiliki determinan $- 1$ . Transformasinya menukar sumbu $x$ dan $y$ , yang memang membalik orientasi.

Latihan

Latihan 1.3 — determinan

Kerjakan dulu sebelum membuka kunci. Menebak lalu memeriksa lebih baik daripada membaca jawaban lebih awal.

01 $det (3245) = \dots$
1. A7
2. B23
3. C $- 7$
4. D15
Pembahasan
$3 (5) - 4 (2) = 15 - 8 = 7$ . Pilihan 23 berasal dari penjumlahan, bukan pengurangan.
02 $det (2163) = \dots$
1. A0
2. B12
3. C $- 12$
4. D6
Pembahasan
$2 (3) - 6 (1) = 6 - 6 = 0$ . Baris kedua adalah setengah baris pertama, sehingga keduanya bergantung linear dan bidang runtuh.
03Matriks $3 \times 3$ dengan sebuah baris berisi nol semua memiliki determinan …
1. A0
2. B1
3. Cbergantung unsur lain
4. Dtidak terdefinisi
Pembahasan
Setiap suku pada ekspansi sepanjang baris itu dikalikan nol, sehingga seluruhnya nol. Determinan pasti 0, apa pun isi baris lainnya.
04Jika $det A = 4$ dan $det B = 3$ , maka $det (A B)$ adalah …
1. A12
2. B7
3. C $\frac{4}{3}$
4. Dtidak bisa ditentukan
Pembahasan
$det (A B) = det A \cdot det B = 12$ . Ini salah satu sifat yang memang berlaku, berbeda dengan $det (A + B)$ .
05Untuk matriks $A$ berordo $2 \times 2$ dengan $det A = 5$ , nilai $det (3 A)$ adalah …
1. A45
2. B15
3. C5
4. D9
Pembahasan
$det (k A) = k^{n} det A$ dengan $n = 2$ , maka $3^{2} \cdot 5 = 45$ . Pilihan 15 muncul dari memakai $k$ alih-alih $k^{n}$ .

Yang perlu diingat

$det (a c b d) = a d - b c$ .
Determinan adalah faktor skala luas; tandanya menunjukkan orientasi.
$det = 0$ → transformasi tidak dapat dibalik, tidak ada invers.
Sarrus hanya untuk ordo 3; kofaktor berlaku umum.
Ekspansi boleh sepanjang baris atau kolom mana pun — pilih yang paling banyak nol.
$det (A B) = det A det B$ , tetapi $det (A + B) \neq = det A + det B$ .
$det (k A) = k^{n} det A$ .

Rujukan kurikulum

Fase F, elemen Aljabar dan Fungsi — peserta didik dapat melakukan operasi aljabar pada matriks dan menerapkannya dalam transformasi geometri.

Apa yang diukur determinan

Determinan 3×3

Hitung determinan A=​147​258​3610​​ dengan kedua cara.

Minor dan kofaktor

Sifat determinan yang menghemat pekerjaan

Miskonsepsi yang sering muncul

Menganggap det(A+B)=detA+detB

Menganggap det(kA)=kdetA

Menganggap determinan selalu positif

Latihan

Latihan 1.3 — determinan

Yang perlu diingat

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Determinan $3 \times 3$

Hitung determinan $A = 1472583610$ dengan kedua cara.

Menganggap $det (A + B) = det A + det B$

Menganggap $det (k A) = k det A$