Operasi aljabar pada matriks — SMA Tingkat Lanjut Kelas XI

Penjumlahan dan pengurangan: per posisi

Dua matriks hanya bisa dijumlahkan jika ordonnya sama. Hasilnya diperoleh dengan menjumlahkan unsur yang seposisi.

(1324) + (5768) = (610812)

Perkalian dengan skalar juga bekerja per posisi: setiap unsur dikalikan bilangan itu.

3 (1324) = (39612)

Perkalian matriks: mengapa baris bertemu kolom

Aturan perkalian matriks sering terasa seperti hafalan sewenang-wenang. Padahal ia berasal dari cara matriks dipakai: baris pada matriks pertama menyatakan satu persamaan, kolom pada matriks kedua menyatakan satu variabel.

Misalkan $x$ dan $y$ dihitung dari $u$ dan $v$ melalui dua persamaan, lalu $u$ dan $v$ juga dihitung dari $p$ dan $q$ . Menggabungkan keduanya menghasilkan perkalian matriks.

(1324) (5768) = (1 (5) + 2 (7) 3 (5) + 4 (7) 1 (6) + 2 (8) 3 (6) + 4 (8)) = (19432250)

Mengapa $A B \neq = B A$

Pada bilangan biasa, $3 \times 4 = 4 \times 3$ . Pada matriks, urutan mengubah hasil. Bukan kadang-kadang — umumnya berubah.

A B = (1324) (0110) = (2413)

B A = (0110) (1324) = (3142)

Selain hasilnya berbeda, $B A$ bisa saja tidak terdefinisi meskipun $A B$ terdefinisi, kalau ordonya tidak cocok. Ini alasan aturan ordo harus diperiksa lebih dulu.

Contoh dikerjakan

Diketahui $A = (23 - 1 4)$ dan $B = (1052)$ . Hitung $2 A - B$ dan $A B$ .

01Kalikan $A$ dengan skalar lebih dulu.
$2 A = (46 - 2 8)$
Kenapa
Setiap unsur dikalikan 2, termasuk yang negatif.
02Kurangkan $B$ per posisi.
$2 A - B = (4 - 1 6 - 0 - 2 - 5 8 - 2) = (36 - 7 6)$
03Untuk $A B$ , periksa ordonya.
Kenapa
Keduanya $2 \times 2$ , jadi dapat dikalikan dan hasilnya juga $2 \times 2$ .
04Hitung unsur $(1, 1)$ : baris 1 dari $A$ bertemu kolom 1 dari $B$ .
$(2) (1) + (- 1) (0) = 2$
05Hitung unsur $(1, 2)$ : baris 1 dari $A$ bertemu kolom 2 dari $B$ .
$(2) (5) + (- 1) (2) = 10 - 2 = 8$
06Lanjutkan untuk baris 2.
$A B = (23823)$
Kenapa
Unsur $(2, 1) = 3 (1) + 4 (0) = 3$ dan $(2, 2) = 3 (5) + 4 (2) = 23$ .

Lihat jawaban

$2 A - B = (36 - 7 6)$ dan $A B = (23823)$ .

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Mengalikan matriks per posisi

Jawaban khas: $(1324) (5768) = (5211232)$
Kenapa keliru: Itu aturan penjumlahan, bukan perkalian. Perkalian memakai jumlah hasil kali sepanjang baris dan kolom, sehingga $(1, 1)$ bernilai $1 (5) + 2 (7) = 19$ , bukan $1 (5)$ .
Contoh tandingan: Uji dengan matriks identitas. Kalau aturan per posisi benar, $A I$ akan memberi $(1 (1) 0 0 4 (1))$ untuk $A = (1324)$ — sebagian unsur hilang. Dengan aturan yang benar, $A I = A$ persis.

Miskonsepsi

Menganggap $A B = B A$

Jawaban khas: Menghitung $B A$ lalu memakai hasilnya sebagai $A B$
Kenapa keliru: Perkalian matriks tidak komutatif. Bahkan ketika keduanya terdefinisi, hasilnya umumnya berbeda.
Contoh tandingan: Dengan $A = (1324)$ dan $B = (0110)$ , diperoleh $A B = (2413)$ tetapi $B A = (3142)$ .

Miskonsepsi

Menjumlahkan matriks berordo berbeda dengan "melengkapi" nol

Jawaban khas: Menambahkan nol pada matriks yang lebih kecil agar ordonya sama
Kenapa keliru: Menambahkan nol mengubah matriksnya, sehingga soal yang dikerjakan bukan lagi soal yang ditanyakan. Operasi pada matriks berordo berbeda memang tidak terdefinisi.
Contoh tandingan: Matriks $2 \times 2$ dan $3 \times 2$ tidak bisa dijumlahkan. Kalau dipaksakan dengan menambah satu baris nol, hasilnya bukan penjumlahan kedua matriks asli.

Latihan

Latihan 1.2 — operasi matriks

Kerjakan dulu sebelum membuka kunci. Menebak lalu memeriksa lebih baik daripada membaca jawaban lebih awal.

01 $(1324) (2101) = \dots$
1. A $(41024)$
2. B $(2304)$
3. C $(3724)$
4. D $(410410)$
Pembahasan
Unsur $(1, 1) = 1 (2) + 2 (1) = 4$ , $(1, 2) = 1 (0) + 2 (1) = 2$ , $(2, 1) = 3 (2) + 4 (1) = 10$ , $(2, 2) = 3 (0) + 4 (1) = 4$ .
02Jika $A$ berordo $2 \times 3$ dan $B$ berordo $3 \times 4$ , maka $A B$ berordo …
1. A $2 \times 4$
2. B $3 \times 3$
3. C $4 \times 2$
4. Dtidak terdefinisi
Pembahasan
Kolom $A$ (3) sama dengan baris $B$ (3), jadi terdefinisi. Hasilnya berordo baris $A$ × kolom $B$ , yaitu $2 \times 4$ .
03Manakah pernyataan yang benar untuk sebarang matriks persegi $A$ dan $B$ berordo sama?
1. A $A + B = B + A$
2. B $A B = B A$
3. C $A B$ selalu terdefinisi
4. D $A^{T} = A$
Pembahasan
Penjumlahan bersifat komutatif karena bekerja per posisi. Perkalian tidak komutatif, dan $A^{T} = A$ hanya berlaku untuk matriks simetris.
04Diketahui $A = (1021)$ . Nilai $A^{2}$ adalah …
1. A $(1041)$
2. B $(1021)$
3. C $(2042)$
4. D $(1001)$
Pembahasan
$(1, 1) = 1 (1) + 2 (0) = 1$ , $(1, 2) = 1 (2) + 2 (1) = 4$ , $(2, 1) = 0$ , $(2, 2) = 0 (2) + 1 (1) = 1$ .
05 $(3214) - 2 (1101) = \dots$
1. A $(1012)$
2. B $(2113)$
3. C $(1416)$
4. D $(5416)$
Pembahasan
$2 (1101) = (2202)$ , lalu kurangkan per posisi: $(1012)$ .

Yang perlu diingat

Penjumlahan dan perkalian skalar bekerja per posisi; ordo harus sama.
Perkalian matriks: baris × kolom, dijumlahkan.
$A B$ terdefinisi hanya jika kolom $A$ = baris $B$ .
$A B \neq = B A$ pada umumnya — urutan penting.
$A I = I A = A$ .
$(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ .

Rujukan kurikulum

Fase F, elemen Aljabar dan Fungsi — peserta didik dapat melakukan operasi aljabar pada matriks.

Penjumlahan dan pengurangan: per posisi

Perkalian matriks: mengapa baris bertemu kolom

Mengapa AB=BA

Contoh dikerjakan

Diketahui A=(23​−14​) dan B=(10​52​). Hitung 2A−B dan AB.

Miskonsepsi yang sering muncul

Mengalikan matriks per posisi

Menganggap AB=BA

Menjumlahkan matriks berordo berbeda dengan "melengkapi" nol

Latihan

Latihan 1.2 — operasi matriks

Yang perlu diingat

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Mengapa $A B \neq = B A$

Diketahui $A = (23 - 1 4)$ dan $B = (1052)$ . Hitung $2 A - B$ dan $A B$ .

Menganggap $A B = B A$