Notasi, jenis, dan kesamaan matriks — SMA Tingkat Lanjut Kelas XI

Mengapa angka disusun berbentuk kotak

Perhatikan data nilai tiga siswa pada dua mata pelajaran. Kalau ditulis berderet, $80, 75, 90, 70, 85, 95$ , hubungan antara angka dan siswanya hilang. Kita tidak tahu angka mana milik siapa.

Kalau disusun sebagai kotak, artinya langsung terbaca:

A = 809085757095

Baris menunjukkan siswa, kolom menunjukkan mata pelajaran. Susunan inilah yang membawa makna, bukan angkanya.

Ordo dan penamaan unsur

Ordo matriks ditulis sebagai $banyak baris \times banyak kolom$ . Matriks $A$ di atas berordo $3 \times 2$ : tiga baris, dua kolom.

Setiap bilangan di dalamnya disebut unsur atau elemen, ditulis $a_{ij}$ dengan $i$ nomor baris dan $j$ nomor kolom. Pada matriks $A$ di atas, $a_{21} = 90$ karena berada di baris 2 kolom 1.

Istilah	Arti
Ordo $m \times n$	$m$ baris, $n$ kolom
$a_{ij}$	Unsur pada baris $i$ , kolom $j$
Matriks persegi	Banyak baris = banyak kolom
Diagonal utama	Unsur $a_{11}, a_{22}, a_{33}, \dots$

Jenis matriks yang perlu dikenali

Jenis	Ciri	Contoh
Baris	Hanya satu baris	$(25)$
Kolom	Hanya satu kolom	$(25)$
Persegi	Baris = kolom	$(1324)$
Identitas	Diagonal utama 1, lainnya 0	$(1001)$
Nol	Semua unsur 0	$(0000)$
Diagonal	Selain diagonal utama semuanya 0	$(3007)$
Segitiga atas	Di bawah diagonal utama semuanya 0	$(1023)$

Matriks identitas $I$ berperan seperti angka 1 pada perkalian: mengalikannya tidak mengubah hasil. Sifat itu akan dipakai terus saat membahas invers.

Transpos: menukar baris dan kolom

Transpos matriks $A$ , ditulis $A^{T}$ , diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom. Kalau $A$ berordo $m \times n$ , maka $A^{T}$ berordo $n \times m$ .

A = (142536) ⟹ A^{T} = 123456

Unsur

a_{ij}

berpindah menjadi unsur

a_{j i}

Kesamaan dua matriks

Dua matriks disebut sama jika ordonnya sama dan setiap unsur yang seposisi sama. Kesamaan matriks karena itu menghasilkan beberapa persamaan sekaligus, bukan satu.

Contoh dikerjakan

Tentukan $x$ dan $y$ jika $(x + 1 2 4 3 y) = (52412)$ .

01Periksa ordonya lebih dulu.
Kenapa
Keduanya $2 \times 2$ , jadi kesamaan mungkin. Kalau ordonya berbeda, soal ini tidak punya penyelesaian sama sekali.
02Samakan unsur yang seposisi.
$x + 1 = 5 dan 3 y = 12$
Kenapa
Unsur 4 dan 2 di posisi lain sudah sama, jadi tidak memberi persamaan baru.
03Selesaikan masing-masing.
$x = 4, y = 4$
04Periksa dengan memasukkan kembali.
$(4 + 1 2 4 3 (4)) = (52412)$

Lihat jawaban

$x = 4$ dan $y = 4$ .

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Menganggap ordo $3 \times 2$ sama dengan $2 \times 3$

Jawaban khas: Menukar ordo tanpa mengubah apa pun, lalu menganggap kedua matriks itu sama
Kenapa keliru: Ordo menentukan bentuk. Matriks $3 \times 2$ dan $2 \times 3$ punya susunan berbeda dan tidak mungkin sama, sekalipun semua angkanya identik.
Contoh tandingan: $135246$ berordo $3 \times 2$ , sedangkan $(142536)$ berordo $2 \times 3$ . Yang kedua adalah transpos yang pertama, dan keduanya tidak sama.

Miskonsepsi

Mengira transpos hanya membalik urutan angka

Jawaban khas: Membaca $A^{T}$ sebagai matriks dengan angka yang dibaca dari belakang
Kenapa keliru: Transpos menukar posisi baris dan kolom, bukan membalik urutan bilangan. Angka 2 pada contoh di atas tetap di baris 1, tetapi pindah dari kolom 2 ke kolom 1.
Contoh tandingan: Pada $A = (142536)$ , unsur 6 tetap 6 tetapi berpindah dari posisi $(2, 3)$ ke $(3, 2)$ . Kalau hanya dibalik urutannya, hasilnya akan berupa matriks $1 \times 6$ , bukan $3 \times 2$ .

Latihan

Latihan 1.1 — ordo dan kesamaan

Kerjakan dulu sebelum membuka kunci. Menebak lalu memeriksa lebih baik daripada membaca jawaban lebih awal.

01Matriks $(214365)$ berordo …
1. A $2 \times 3$
2. B $3 \times 2$
3. C $6$
4. D $2 \times 2$
Pembahasan
Ada 2 baris dan 3 kolom, jadi ordonya $2 \times 3$ . Baris selalu ditulis lebih dulu.
02Unsur $a_{23}$ dari $(142536)$ adalah …
1. A6
2. B3
3. C5
4. D2
Pembahasan
$a_{23}$ berarti baris 2, kolom 3, yaitu 6. Pilihan 3 adalah $a_{13}$ — kolomnya benar tetapi barisnya salah.
03Jika $(2 x 5 3 y - 1) = (8534)$ , maka $x + y$ adalah …
1. A9
2. B4
3. C5
4. D13
Pembahasan
$2 x = 8$ memberi $x = 4$ , dan $y - 1 = 4$ memberi $y = 5$ . Jumlahnya 9.
04Matriks $(3003)$ termasuk jenis …
1. Amatriks diagonal, tetapi bukan identitas
2. Bmatriks identitas
3. Cmatriks nol
4. Dmatriks segitiga atas saja
Pembahasan
Semua unsur di luar diagonal utama bernilai 0, jadi ini matriks diagonal. Disebut identitas hanya jika unsur diagonalnya 1, padahal di sini 3.
05Transpos dari $124035$ berordo …
1. A $2 \times 3$
2. B $3 \times 2$
3. C $3 \times 3$
4. D $2 \times 2$
Pembahasan
Transpos menukar baris dan kolom, sehingga ordo $3 \times 2$ menjadi $2 \times 3$ .

Yang perlu diingat

Ordo $m \times n$ : baris dulu, kolom kemudian.
$a_{ij}$ adalah unsur pada baris $i$ dan kolom $j$ .
Kesamaan matriks menuntut ordo sama dan semua unsur seposisi sama.
Transpos menukar baris dan kolom, bukan membalik urutan angka.
$(A B)^{T} = B^{T} A^{T}$ — urutan berbalik.

Rujukan kurikulum

Fase F, elemen Aljabar dan Fungsi — peserta didik dapat melakukan operasi aljabar pada matriks dan menerapkannya dalam transformasi geometri.