Barisan dan deret aritmetika — SMA Wajib Kelas X

Apa yang membuatnya aritmetika

Barisan aritmetika adalah urutan bilangan yang selisih dua suku berurutan selalu sama. Selisih itu disebut beda dan ditulis $b$ .

b = U_{n} - U_{n - 1}

Beda boleh dihitung dari pasangan suku berurutan mana pun. Kalau hasilnya berbeda-beda, barisan itu bukan aritmetika.

Karena itu, begitu kamu tahu suku pertama $a$ dan beda $b$ , seluruh barisan sudah ditentukan:

a, a + b, a + 2 b, a + 3 b, \dots

Rumus suku ke-n

Untuk sampai ke suku ke- $n$ , kamu melangkah dari suku pertama sebanyak $n - 1$ kali, bukan $n$ kali. Setiap langkah menambah $b$ .

Suku	Bentuk	Banyak langkah dari $a$
$U_{1}$	$a$	0
$U_{2}$	$a + b$	1
$U_{3}$	$a + 2 b$	2
$U_{4}$	$a + 3 b$	3
$U_{n}$	$a + (n - 1) b$	$n - 1$

U_{n} = a + (n - 1) b

Rumus jumlah n suku

Jumlah deret aritmetika dihitung dengan memasangkan suku dari ujung ke ujung. Pasangan pertama dan terakhir berjumlah $a + U_{n}$ , dan pasangan kedua dengan kedua-dari-belakang juga berjumlah sama: $(a + b) + (U_{n} - b) = a + U_{n}$ .

Kalau ada $n$ suku, maka ada $\frac{n}{2}$ pasangan. Karena itu:

S_{n} = \frac{n}{2} (a + U_{n})

Bentuk ini bisa ditulis tanpa $U_{n}$ . Ganti $U_{n}$ dengan rumus suku ke-n:

S_{n} = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) b)

Contoh dikerjakan

Suku ke-20 dan jumlah 20 suku pertama dari 7, 12, 17, 22, …

Kerjakan dulu sendiri sebentar. Buka langkah satu per satu setelah kamu punya dugaan.

01Tentukan suku pertama dan beda.
$a = 7, b = 12 - 7 = 5$
Kenapa
Beda diambil dari dua suku berurutan. Periksa juga pasangan lain: $17 - 12 = 5$ , jadi bedanya memang tetap.
02Hitung suku ke-20 dengan rumus $U_{n} = a + (n - 1) b$ .
$U_{20} = 7 + (20 - 1) \cdot 5 = 7 + 95 = 102$
Kenapa
Yang dikalikan adalah 19, bukan 20, karena suku pertama belum diberi tambahan apa pun.
03Hitung jumlahnya dengan bentuk yang memakai suku pertama dan suku terakhir.
$S_{20} = \frac{20}{2} (7 + 102) = 10 \cdot 109 = 1090$
Kenapa
Ada 10 pasangan, masing-masing berjumlah 109. Menjumlahkan satu per satu akan memberi angka yang sama, hanya lebih lama.
04Periksa dengan bentuk kedua dari rumus jumlah.
$S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 7 + 19 \cdot 5) = 10 (14 + 95) = 1090$
Kenapa
Dua bentuk rumus yang berbeda memberi hasil sama. Kalau tidak sama, kesalahannya ada di substitusi, bukan di rumus.

Lihat jawaban

$U_{20} = 102$ dan $S_{20} = 1.090$ .

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Memakai $a + nb$ , bukan $a + (n - 1) b$

Jawaban khas: $U_{20} = 7 + 20 \cdot 5 = 107$
Kenapa keliru: Rumus itu menambahkan 20 langkah dari suku pertama. Padahal untuk sampai di suku ke-20 hanya perlu 19 langkah, karena suku pertama sudah dihitung.
Contoh tandingan: Uji dengan $n = 1$ . Rumus yang benar memberi $7 + 0 \cdot 5 = 7$ , tepat suku pertama. Rumus $a + nb$ memberi $7 + 1 \cdot 5 = 12$ , yang justru suku kedua.

Miskonsepsi

Mengalikan banyak suku dengan suku terakhir

Jawaban khas: $S_{20} = 20 \cdot 102 = 2040$
Kenapa keliru: Mengalikan seperti itu berarti menganggap semua 20 suku bernilai 102. Padahal barisan ini naik dari 7, jadi sebagian besar sukunya jauh di bawah 102.
Contoh tandingan: Dari 20 suku itu hanya satu yang bernilai di atas 100, yaitu $U_{20} = 102$ . Hasil yang benar, 1.090, masuk akal karena rata-rata 20 suku tersebut $\frac{1090}{20} = 54, 5$ — persis di tengah antara 7 dan 102.

Miskonsepsi

Menganggap setiap barisan punya beda tetap

Jawaban khas: $2, 6, 18, 54, \dots$ dilanjutkan $90$ karena “ditambah 36”
Kenapa keliru: Selisihnya berubah: 4, lalu 12, lalu 36. Barisan dengan selisih berubah bukan aritmetika. Di sini yang tetap adalah rasio, yaitu 3.
Contoh tandingan: Periksa selisih pertama: $6 - 2 = 4$ , tetapi $18 - 6 = 12$ . Karena tidak sama, $b$ tidak ada, dan rumus aritmetika tidak berlaku.

Yang perlu diingat

Aritmetika berarti beda tetap, bukan rasio tetap.
$U_{n} = a + (n - 1) b$ — langkahnya $n - 1$ , bukan $n$ .
$S_{n} = \frac{n}{2} (a + U_{n})$ — jumlah pasangan ujung ke ujung.
$S_{n} = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) b)$ — bentuk yang sama tanpa $U_{n}$ .
Memakai dua bentuk rumus sekaligus adalah pemeriksaan termurah.

Latihan

Lima soal berikut hanya memakai beda, suku ke- $n$ , dan jumlah $n$ suku pertama, jadi kerjakan dulu sendiri sebelum membuka pembahasan.

01Barisan aritmetika memiliki suku pertama $a = 8$ dan beda $b = 5$ . Suku ke-12 barisan itu adalah …
1. A $55$
2. B $60$
3. C $63$
4. D $68$
Pembahasan
$U_{12} = a + 11 b = 8 + 55 = 63$ . Menjawab 68 berarti memakai 12 langkah, bukan 11; 55 berarti langkahnya dihitung tanpa menambahkan $a$ .
02Diketahui $U_{4} = 17$ dan $U_{9} = 37$ . Beda barisan aritmetika itu adalah …
1. A $4$
2. B $5$
3. C $20$
4. D $37$
Pembahasan
Ada $9 - 4 = 5$ langkah dari $U_{4}$ ke $U_{9}$ , jadi $b = \frac{37 - 17}{5} = 4$ . Menjawab 20 berarti memakai selisih $37 - 17$ tanpa dibagi 5 langkah; 5 adalah banyak langkahnya, bukan bedanya.
03Jumlah 15 suku pertama barisan $6, 10, 14, \dots$ adalah …
1. A $448$
2. B $465$
3. C $480$
4. D $510$
5. E $540$
Pembahasan
$S_{15} = \frac{15}{2} (2 \cdot 6 + 14 \cdot 4) = \frac{15}{2} \cdot 68 = 510$ . Menjawab 540 berarti memakai 15 langkah, bukan 14; 465 hanya menghitung $a$ sekali; 448 datang dari menjumlahkan 14 suku.
04Diketahui $U_{7} = 33$ dan $U_{12} = 58$ . Suku pertama barisan itu adalah …
1. A $3$
2. B $5$
3. C $8$
4. D $33$
Pembahasan
$b = \frac{58 - 33}{12 - 7} = 5$ , lalu $a = U_{7} - 6 b = 33 - 30 = 3$ ; dari $U_{1}$ ke $U_{7}$ ada 6 langkah. Menjawab 8 berarti memakai 5 langkah, 5 adalah bedanya, dan 33 adalah $U_{7}$ itu sendiri.
05Diketahui $U_{3} = 11$ dan $U_{8} = 31$ . Jumlah 20 suku pertama barisan itu adalah …
1. A $780$
2. B $820$
3. C $860$
4. D $1640$
Pembahasan
$b = \frac{31 - 11}{8 - 3} = 4$ dan $a = 11 - 2 \cdot 4 = 3$ , sehingga $U_{20} = 3 + 19 \cdot 4 = 79$ dan $S_{20} = \frac{20}{2} (3 + 79) = 820$ . Menjawab 780 berarti memakai 18 langkah, 860 memakai 20 langkah, dan 1640 lupa membagi dua.

Rujukan kurikulum

Fase E — barisan dan deret: menjelaskan pola, menentukan suku ke-n, dan menghitung jumlah n suku pertama.

Apa yang membuatnya aritmetika

Rumus suku ke-n

Rumus jumlah n suku

Contoh dikerjakan

Suku ke-20 dan jumlah 20 suku pertama dari 7, 12, 17, 22, …

Miskonsepsi yang sering muncul

Memakai a+nb, bukan a+(n−1)b

Mengalikan banyak suku dengan suku terakhir

Menganggap setiap barisan punya beda tetap

Yang perlu diingat

Latihan

Latihan

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Memakai $a + nb$ , bukan $a + (n - 1) b$