Barisan dan deret geometri — SMA Wajib Kelas X

Rasio, bukan beda

Barisan geometri adalah urutan yang hasil bagi dua suku berurutan selalu sama. Hasil bagi itu disebut rasio dan ditulis $r$ .

r = \frac{U _{n}}{U _{n - 1}}, U_{n - 1} \neq = 0

Pembagi tidak boleh nol, jadi suku-suku barisan geometri tidak boleh ada yang nol.

Karena setiap suku dikalikan $r$ , pertumbuhannya berlipat, bukan bertambah. Bandingkan dua barisan yang sama-sama mulai dari 3:

$n$	Aritmetika $+ 3$	Geometri $\times 2$
1	3	3
2	6	6
5	15	48
10	30	1.536

Rumus suku ke-n dan jumlah n suku

Suku pertama $a$ , lalu dikalikan $r$ sebanyak $n - 1$ kali. Karena itu:

U_{n} = a r^{n - 1}

Untuk jumlahnya, ada dua bentuk bergantung nilai $r$ . Kalau $r \neq = 1$ :

S_{n} = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}

Dua bentuk itu identik; pilih yang membuat pembilang dan penyebutnya positif supaya tidak salah tanda.

Kalau $r = 1$ , pembagian di atas tidak terdefinisi. Barisannya menjadi $a, a, a, \dots$ sehingga jumlahnya langsung:

S_{n} = n \cdot a (r = 1)

Deret geometri tak hingga

Kalau $∣ r ∣ < 1$ , setiap suku menjadi lebih kecil, dan jumlah tak terhingga sukunya menuju satu bilangan berhingga.

S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}, ∣ r ∣ < 1

Contoh yang sekaligus menjelaskan desimal berulang: jumlah $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ sama dengan 1, karena $a = \frac{1}{2}$ dan $r = \frac{1}{2}$ .

S_{\infty} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1

Contoh dikerjakan

Suku ke-8 dan jumlah 8 suku pertama dari 3, 6, 12, 24, …

01Tentukan suku pertama dan rasio.
$a = 3, r = \frac{6}{3} = 2$
Kenapa
Periksa dengan pasangan lain: $\frac{12}{6} = 2$ . Kalau hasilnya berbeda, barisan ini bukan geometri.
02Hitung suku ke-8 dengan rumus $U_{n} = a r^{n - 1}$ .
$U_{8} = 3 \cdot 2^{7} = 3 \cdot 128 = 384$
Kenapa
Pangkatnya 7, bukan 8, karena suku pertama belum dikalikan apa pun.
03Hitung jumlahnya dengan $r \neq = 1$ .
$S_{8} = \frac{3 ( 2 ^{8} - 1 )}{2 - 1} = 3 \cdot 255 = 765$
Kenapa
Pembaginya $r - 1 = 1$ , jadi hasilnya tidak berubah. Kalau rasionya bukan 2, bagian ini yang paling sering salah tanda.
04Periksa dengan menjumlahkan delapan suku pertama secara langsung.
$3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 = 765$
Kenapa
Cara ini hanya praktis untuk $n$ kecil, tapi cukup untuk memastikan rumusnya dipakai dengan benar.

Lihat jawaban

$U_{8} = 384$ dan $S_{8} = 765$ .

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Memakai selisih pada barisan geometri

Jawaban khas: $3, 6, 12, 24, \dots$ dilanjutkan $36$ karena “ditambah 12”
Kenapa keliru: Yang tetap di barisan ini adalah hasil bagi, bukan selisih. Selisihnya berubah: 3, lalu 6, lalu 12.
Contoh tandingan: Cek rasio: $\frac{6}{3} = 2$ dan $\frac{12}{6} = 2$ . Jadi suku berikutnya $24 \cdot 2 = 48$ . Kalau dilanjutkan dengan menambah 12, rasio suku kelima menjadi $\frac{36}{24} = 1, 5$ — polanya rusak.

Miskonsepsi

Memakai $a r^{n}$ , bukan $a r^{n - 1}$

Jawaban khas: $U_{1} = 3 \cdot 2^{1} = 6$
Kenapa keliru: Rumus itu mengalikan rasio satu kali pada suku pertama, padahal suku pertama adalah titik awal sebelum perkalian apa pun.
Contoh tandingan: Suku pertama barisan ini sudah diketahui dari soal: 3. Rumus $a r^{n}$ memberi 6 untuk $n = 1$ , jadi rumus itu tidak mungkin benar.

Miskonsepsi

Memakai rumus $S_{n}$ saat $r = 1$

Jawaban khas: $S_{n} = \frac{a ( 1 ^{n} - 1 )}{1 - 1} = \frac{0}{0}$
Kenapa keliru: Rumus jumlah diturunkan dengan membagi $r - 1$ . Saat $r = 1$ pembaginya nol, dan rumusnya tidak berlaku — bukan berarti hasilnya nol.
Contoh tandingan: Untuk barisan $5, 5, 5, \dots$ dengan $r = 1$ , jumlah 4 suku pertama jelas 20, dan rumus $S_{n} = n \cdot a$ memberi $4 \cdot 5 = 20$ .

Yang perlu diingat

Geometri berarti rasio tetap: $r = \frac{U _{n}}{U _{n - 1}}$ .
$U_{n} = a r^{n - 1}$ — pangkatnya $n - 1$ .
$S_{n} = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ untuk $r \neq = 1$ , dan $S_{n} = na$ untuk $r = 1$ .
$S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$ hanya berlaku saat $∣ r ∣ < 1$ .

Latihan

Kerjakan lima soal berikut untuk memeriksa apakah kamu sudah bisa membaca rasio, menghitung suku ke- $n$ dan jumlah $n$ suku, serta menjumlahkan deret tak hingga.

01Barisan geometri $2, 6, 18, 54, \dots$ mempunyai rasio $3$ . Suku keenamnya adalah …
1. A $162$
2. B $243$
3. C $486$
4. D $729$
Pembahasan
$U_{6} = a r^{5} = 2 \cdot 3^{5} = 2 \cdot 243 = 486$ . Menjawab $162$ berarti memakai $n = 5$ , satu suku lebih awal; $243$ berasal dari $3^{5}$ tanpa mengalikan $a = 2$ .
02Diketahui barisan geometri dengan $U_{2} = 6$ dan $U_{5} = 48$ . Suku pertama barisan itu adalah …
1. A $3$
2. B $6$
3. C $12$
4. D $24$
Pembahasan
$U_{5} = U_{2} \cdot r^{3}$ , jadi $48 = 6 r^{3}$ dan $r^{3} = 8$ , sehingga $r = 2$ . Suku pertama $a = \frac{U _{2}}{r} = \frac{6}{2} = 3$ . Menjawab $6$ berarti memakai $U_{2}$ langsung sebagai $a$ ; $12$ muncul kalau $U_{5}$ dibagi $r^{2}$ , seolah pangkatnya hanya dua.
03Jumlah tujuh suku pertama barisan $3, 6, 12, 24, \dots$ adalah …
1. A $189$
2. B $381$
3. C $384$
4. D $765$
Pembahasan
$a = 3$ dan $r = 2$ , sehingga $S_{7} = \frac{3 ( 2 ^{7} - 1 )}{2 - 1} = 3 \cdot 127 = 381$ . Menjawab $189$ berarti memakai $n = 6$ ; $384$ adalah suku kedelapan, bukan jumlah tujuh suku.
04Jumlah deret geometri tak hingga $8 + 4 + 2 + 1 + \dots$ adalah …
1. A $8$
2. B $12$
3. C $14$
4. D $16$
Pembahasan
$a = 8$ dan $r = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ , jadi $S_{\infty} = \frac{8}{1 - \frac{1}{2}} = 16$ . Menjawab $14$ berarti hanya menjumlahkan tiga suku pertama; deretnya masih berlanjut dan jumlah semua sukunya menuju $16$ .
05Jumlah tak hingga suatu barisan geometri adalah $27$ dan suku pertamanya $18$ . Rasio barisan itu adalah …
1. A $\frac{1}{3}$
2. B $\frac{1}{2}$
3. C $\frac{2}{3}$
4. D $\frac{3}{2}$
Pembahasan
$27 = \frac{18}{1 - r}$ , sehingga $1 - r = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$ dan $r = \frac{1}{3}$ . Menjawab $\frac{2}{3}$ berarti berhenti di $1 - r$ tanpa mengurangkannya dari $1$ ; $\frac{3}{2}$ adalah $\frac{S _{\infty}}{a}$ , bukan $r$ .

Rujukan kurikulum

Fase E — barisan dan deret geometri: menentukan rasio, suku ke-n, jumlah n suku, dan jumlah deret geometri tak hingga.

Rasio, bukan beda

Rumus suku ke-n dan jumlah n suku

Deret geometri tak hingga

Contoh dikerjakan

Suku ke-8 dan jumlah 8 suku pertama dari 3, 6, 12, 24, …

Miskonsepsi yang sering muncul

Memakai selisih pada barisan geometri

Memakai arn, bukan arn−1

Memakai rumus Sn​ saat r=1

Yang perlu diingat

Latihan

Latihan

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Memakai $a r^{n}$ , bukan $a r^{n - 1}$

Memakai rumus $S_{n}$ saat $r = 1$