Trigonometri dasar — TKA SMA Wajib

Perbandingan pada segitiga siku-siku

Segitiga siku-siku punya tiga sisi, tetapi namanya tidak melekat pada sisinya. Nama itu baru berarti setelah kamu memilih satu sudut lancip sebagai acuan. Karena itu dua soal dengan gambar yang sama bisa memakai nama sisi yang berbeda.

Sisi depan ( $d e$ ): sisi yang berhadapan dengan sudut acuan.
Sisi samping ( $s a$ ): sisi yang menyiku dengan sudut acuan, bukan sisi miring dan bukan sisi di hadapannya.
Sisi miring ( $mi$ ): hipotenusa, sisi terpanjang, selalu berhadapan dengan sudut siku-siku.

sin α = \frac{d e}{mi}, cos α = \frac{s a}{mi}, tan α = \frac{d e}{s a}

Berlaku untuk sudut lancip

α

pada segitiga siku-siku.

Tiga perbandingan yang lain hanyalah kebalikannya. Tidak ada rumus baru di sana, hanya posisi pembilang dan penyebut yang bertukar.

cot α = \frac{1}{tan α} = \frac{s a}{d e}, sec α = \frac{1}{cos α} = \frac{mi}{s a}, csc α = \frac{1}{sin α} = \frac{mi}{d e}

Sudut istimewa tanpa hafalan panjang

Hanya lima sudut yang nilainya perlu diingat, dan semuanya berada di kuadran I. Sudut di kuadran lain tidak menambah hafalan baru; nilainya diturunkan dari sudut lancip.

$α$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$
$sin α$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{3}{2}$	$1$
$cos α$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$tan α$	$0$	$\frac{3}{3}$	$1$	$3$	tak terdefinisi

Kalau tabel itu terasa terlalu banyak, ada satu pola untuk sinus. Untuk $0^{\circ}, 3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}$ , tulis sinus sebagai $\frac{0}{2}, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}$ . Barisan itu naik berurutan dan hasilnya $0, \frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, 1$ . Kosinus memakai barisan yang sama dengan urutan dibalik.

Tanda perbandingan di setiap kuadran

Tanda ditentukan oleh kuadran tempat sudut itu berada, bukan oleh besar sudut acuannya. Kuadran I dihitung dari $0^{\circ}$ sampai $9 0^{\circ}$ , lalu berlanjut setiap $9 0^{\circ}$ .

Kuadran	Rentang sudut	Yang bernilai positif
I	$0^{\circ}$ – $9 0^{\circ}$	$sin$ , $cos$ , $tan$ (semua)
II	$9 0^{\circ}$ – $18 0^{\circ}$	$sin$ dan $csc$
III	$18 0^{\circ}$ – $27 0^{\circ}$	$tan$ dan $cot$
IV	$27 0^{\circ}$ – $36 0^{\circ}$	$cos$ dan $sec$

Jembatan keledainya Semua Sinta Tahu Coklat: Semua, Sin, Tan, Cos, urut dari kuadran I sampai IV. Kosekan mengikuti sinus, kotangen mengikuti tangen, dan sekan mengikuti kosinus, karena masing-masing hanya kebalikannya.

Sudut tumpul adalah sudut di antara $9 0^{\circ}$ dan $18 0^{\circ}$ , jadi selalu berada di kuadran II. Di sana sinus positif, tetapi kosinus dan tangen negatif. Satu fakta itu menjawab banyak soal benar-salah trigonometri.

Sudut berelasi: membaca sudut tumpul

Dua sudut yang jumlahnya $18 0^{\circ}$ bercermin terhadap sumbu- $y$ pada lingkaran satuan. Ordinatnya tidak berubah, absisnya berganti tanda — itu sebabnya hanya kosinus dan tangen yang berubah tanda.

sin (18 0^{\circ} - α) = sin α, cos (18 0^{\circ} - α) = - cos α, tan (18 0^{\circ} - α) = - tan α

Jadi untuk membaca sudut tumpul, kurangi sudutnya dari $18 0^{\circ}$ : $sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ dan $cos 15 0^{\circ} = - cos 3 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ .

Contoh dikerjakan

Diketahui $sin B = \frac{2}{5}$ dan $B$ adalah sudut tumpul. Tentukan $cos B$ .

Tetapkan tandanya sebelum menyentuh Pythagoras.

01Tentukan tandanya lebih dulu.
$B tumpul ⟹ B di kuadran II ⟹ cos B < 0$
Kenapa
Sudut tumpul berada di antara $9 0^{\circ}$ dan $18 0^{\circ}$ . Di kuadran II hanya sinus yang positif.
02Gambarkan segitiga bantu dari perbandingan yang diketahui.
$sin B = \frac{d e}{mi} = \frac{2}{5} ⟹ d e = 2, mi = 5$
03Cari sisi samping dengan teorema Pythagoras.
$s a = m i^{2} - d e^{2} = 25 - 4 = 21$
Kenapa
Segitiga bantunya siku-siku, jadi Pythagoras tetap berlaku meskipun sudut aslinya tumpul.
04Hitung kosinus, lalu pasang tanda negatifnya.
$cos B = - \frac{s a}{mi} = - \frac{21}{5}$

Lihat jawaban

$cos B = - \frac{21}{5}$ .

Contoh dikerjakan

Tangga sepanjang $6$ meter disandarkan pada dinding vertikal. Sudut antara tangga dan lantai $6 0^{\circ}$ . Berapa tinggi dinding yang disentuh ujung atas tangga?

Gambarkan dulu, lalu putuskan sisi mana yang diketahui dan sisi mana yang dicari.

01Beri nama pada gambar.
$mi = 6, yang dicari: sisi depan 6 0^{\circ}$
Kenapa
Tinggi dinding berhadapan dengan sudut $6 0^{\circ}$ , jadi ia sisi depan. Lantai adalah sisi samping.
02Pilih perbandingan yang menghubungkan depan dan miring.
$sin 6 0^{\circ} = \frac{t}{6}$
03Masukkan nilai sudut istimewa, lalu selesaikan.
$\frac{3}{2} = \frac{t}{6} ⟹ t = 33$

Lihat jawaban

$t = 33$ meter.

Jebakan dan urutan kerja

Urutan kerja yang efisien

Tentukan sudutnya di kuadran mana — itu yang memberi tanda.
Tentukan mana depan, samping, dan miring relatif terhadap sudut itu.
Pilih perbandingan yang menghubungkan yang diketahui dengan yang dicari.
Masukkan nilai sudut istimewa, lalu tulis satuannya kalau soalnya bercerita.

Miskonsepsi

Menamai sisi dari posisi gambar, bukan dari sudut

Jawaban khas: Lantai selalu sisi samping, jadi pakai kosinus.
Kenapa keliru: Nama sisi bergantung pada sudut acuan. Pada tangga bersandar, tinggi dinding berhadapan dengan sudut $6 0^{\circ}$ — itu sisi depan. Lantai baru menjadi sisi samping karena ia menyiku dengan sudut yang sama.
Contoh tandingan: $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ memberi $6 \times \frac{1}{2} = 3$ meter, yaitu jarak kaki tangga dari dinding, bukan tinggi dinding. Tinggi dinding adalah $6 sin 6 0^{\circ} = 33 \approx 5, 2$ meter.

Miskonsepsi

Lupa bahwa sudut tumpul membalik tanda kosinus

Jawaban khas: Karena $sin B = \frac{2}{5}$ bernilai positif, maka $cos B = \frac{21}{5}$ .
Kenapa keliru: Sinus yang positif hanya menunjukkan $B$ ada di kuadran I atau II. Kalau $B$ tumpul, ia di kuadran II, tempat absis negatif, sehingga kosinusnya negatif.
Contoh tandingan: Ambil $B = 15 0^{\circ}$ : $sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2} > 0$ , tetapi $cos 15 0^{\circ} = - \frac{3}{2} < 0$ . Sinus positif tidak menjamin kosinus positif.

Miskonsepsi

Tertukar nilai sinus dan kosinus pada $3 0^{\circ}$ dan $6 0^{\circ}$

Jawaban khas: $sin 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ .
Kenapa keliru: Yang bernilai $\frac{1}{2}$ adalah $sin 3 0^{\circ}$ dan $cos 6 0^{\circ}$ . Pada $3 0^{\circ}$ dan $6 0^{\circ}$ nilainya bertukar, bukan sama.
Contoh tandingan: $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2} \approx 0, 866$ . Masuk akal: sisi di hadapan $6 0^{\circ}$ lebih panjang daripada sisi di hadapan $3 0^{\circ}$ , jadi sinusnya harus lebih besar dari $\frac{1}{2}$ .

Latihan

Latihan 4.1 — perbandingan, sudut istimewa, dan tanda

Kerjakan sendiri dulu. Setiap pembahasan menyebut pengecoh yang paling sering dipilih, jadi periksa juga alasan pilihanmu.

01Nilai $cos 15 0^{\circ}$ adalah …
1. A $\frac{3}{2}$
2. B $- \frac{3}{2}$
3. C $\frac{1}{2}$
4. D $- \frac{1}{2}$
Pembahasan
$15 0^{\circ}$ berada di kuadran II dengan sudut acuan $3 0^{\circ}$ . Kosinus di kuadran II negatif, jadi $cos 15 0^{\circ} = - cos 3 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ . Pilihan $\frac{3}{2}$ adalah kesalahan tanda yang paling umum.
02Pada segitiga siku-siku dengan sudut acuan $α$ , $tan α$ sama dengan …
1. A $\frac{d e}{mi}$
2. B $\frac{s a}{mi}$
3. C $\frac{d e}{s a}$
4. D $\frac{s a}{d e}$
Pembahasan
Tangen adalah depan dibagi samping, $\frac{d e}{s a}$ . Pilihan $\frac{d e}{mi}$ adalah sinus, $\frac{s a}{mi}$ adalah kosinus, dan $\frac{s a}{d e}$ adalah kotangen — kebalikan tangen.
03Tangga sepanjang $8$ meter disandarkan pada dinding dengan sudut $3 0^{\circ}$ terhadap lantai. Tinggi dinding yang disentuh ujung atas tangga adalah …
1. A $4$ meter
2. B $43$ meter
3. C $83$ meter
4. D $8$ meter
Pembahasan
Tinggi dinding berhadapan dengan sudut $3 0^{\circ}$ , jadi ia sisi depan. Dengan sinus: $t = 8 sin 3 0^{\circ} = 8 \times \frac{1}{2} = 4$ meter. Pilihan $43$ berasal dari $8 cos 3 0^{\circ}$ , yaitu jarak kaki tangga dari dinding.
04Di kuadran III, perbandingan trigonometri yang bernilai positif adalah …
1. A $sin α$
2. B $cos α$
3. C $tan α$
4. Dketiganya
Pembahasan
Di kuadran III hanya tangen dan kotangen yang positif; sinus dan kosinus keduanya negatif. Periksa dengan $21 0^{\circ}$ : $sin 21 0^{\circ} = - \frac{1}{2}$ dan $cos 21 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ , sedangkan $tan 21 0^{\circ} = \frac{3}{3} > 0$ .
05Diketahui $sin α = \frac{5}{13}$ dan $α$ sudut lancip. Nilai $cos α$ adalah …
1. A $\frac{12}{13}$
2. B $- \frac{12}{13}$
3. C $\frac{5}{12}$
4. D $\frac{13}{12}$
Pembahasan
Dari $cos^{2} α = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ diperoleh $cos α = \pm \frac{12}{13}$ . Karena $α$ lancip dan berada di kuadran I, kosinusnya positif: $\frac{12}{13}$ . Pilihan negatif hanya berlaku untuk sudut tumpul.

Rujukan kurikulum

Kisi-kisi TKA Matematika Wajib, elemen Trigonometri — perbandingan trigonometri (sinus, kosinus, tangen, kotangen, sekan, kosekan) pada segitiga siku-siku.

Perbandingan pada segitiga siku-siku

Sudut istimewa tanpa hafalan panjang

Tanda perbandingan di setiap kuadran

Sudut berelasi: membaca sudut tumpul

Contoh dikerjakan

Diketahui sinB=52​ dan B adalah sudut tumpul. Tentukan cosB.

Tangga sepanjang 6 meter disandarkan pada dinding vertikal. Sudut antara tangga dan lantai 60∘. Berapa tinggi dinding yang disentuh ujung atas tangga?

Jebakan dan urutan kerja

Urutan kerja yang efisien

Menamai sisi dari posisi gambar, bukan dari sudut

Lupa bahwa sudut tumpul membalik tanda kosinus

Tertukar nilai sinus dan kosinus pada 30∘ dan 60∘

Latihan

Latihan 4.1 — perbandingan, sudut istimewa, dan tanda

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Diketahui $sin B = \frac{2}{5}$ dan $B$ adalah sudut tumpul. Tentukan $cos B$ .

Tangga sepanjang $6$ meter disandarkan pada dinding vertikal. Sudut antara tangga dan lantai $6 0^{\circ}$ . Berapa tinggi dinding yang disentuh ujung atas tangga?

Tertukar nilai sinus dan kosinus pada $3 0^{\circ}$ dan $6 0^{\circ}$