Geometri dan pengukuran — TKA SMA Wajib

Hubungan sudut, garis, dan bidang

Dua garis sejajar yang dipotong sebuah garis transversal membentuk beberapa pasangan sudut. Yang perlu kamu hafal bukan namanya, melainkan hubungan nilainya: ada pasangan yang selalu sama besar, dan ada pasangan yang jumlahnya selalu $18 0^{\circ}$ .

Pasangan	Hubungan nilainya	Letaknya
Sehadap	sama besar	keduanya menghadap arah yang sama terhadap transversal
Dalam berseberangan	sama besar	keduanya di antara dua garis sejajar, berseberangan terhadap transversal
Luar berseberangan	sama besar	keduanya di luar kedua garis sejajar, berseberangan terhadap transversal
Dalam sepihak	berjumlah $18 0^{\circ}$	keduanya di antara dua garis sejajar, di sisi yang sama
Luar sepihak	berjumlah $18 0^{\circ}$	keduanya di luar kedua garis sejajar, di sisi yang sama
Berpelurus	berjumlah $18 0^{\circ}$	keduanya bersebelahan pada satu garis lurus
Bertolak belakang	sama besar	keduanya membelakangi titik potong dua garis

Cara cepat: kalau dua sudut membentuk huruf Z atau N, nilainya sama. Kalau membentuk huruf C atau U, jumlahnya $18 0^{\circ}$ .

α + β + γ = 18 0^{\circ}

Jumlah sudut dalam segitiga. Sudut luar di satu titik sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan.

$sudut pusat = 2 \times sudut keliling$ , asalkan keduanya menghadap busur yang sama.
$sudut dalam segi- n = (n - 2) \times 18 0^{\circ}$ .
$sudut luar segi- n = \frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ .

Contoh dikerjakan

Pada trapesium $A B C D$ dengan $A B ∥ D C$ , $∠ A = 7 2^{\circ}$ dan $∠ B = 10 5^{\circ}$ . Tentukan besar $∠ C$ dan $∠ D$ .

01Sudut $A$ dan sudut $D$ terletak sepihak di antara dua garis sejajar, dengan $A D$ sebagai transversal.
$∠ A + ∠ D = 18 0^{\circ}$
Kenapa
Sudut dalam sepihak selalu berjumlah $18 0^{\circ}$ . Pasangan inilah yang menghubungkan kedua sudut di kaki trapesium.
02Hitung $∠ D$ .
$∠ D = 18 0^{\circ} - 7 2^{\circ} = 10 8^{\circ}$
03Sudut $B$ dan sudut $C$ juga sepihak, dengan $B C$ sebagai transversal.
$∠ C = 18 0^{\circ} - 10 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$
04Periksa jumlah keempat sudutnya.
$7 2^{\circ} + 10 5^{\circ} + 7 5^{\circ} + 10 8^{\circ} = 36 0^{\circ}$
Kenapa
Jumlah sudut segi empat memang $36 0^{\circ}$ . Kalau hasilnya bukan $36 0^{\circ}$ , ada pasangan yang salah dianggap sama besar.

Lihat jawaban

$∠ C = 7 5^{\circ}$ dan $∠ D = 10 8^{\circ}$ .

Pada bangun ruang, pertanyaannya bergeser: bukan berapa besar sudutnya, tetapi bagaimana kedudukan dua garis. Kubus $A B C D . E F G H$ dengan rusuk $s$ adalah contoh yang paling sering dipakai.

Istilah	Arti	Contoh pada kubus $A B C D . E F G H$
Sejajar	tidak berpotongan dan terletak pada satu bidang	$A B ∥ D C ∥ E F ∥ H G$
Berpotongan	punya tepat satu titik potong	$A B$ dan $B C$ berpotongan di $B$
Bersilangan	tidak sejajar dan tidak berpotongan	$A B$ dan $C G$
Tegak lurus	berpotongan membentuk $9 0^{\circ}$	$A B ⊥ B C$

diagonal sisi = s 2, diagonal ruang = s 3, luas bidang diagonal = s^{2} 2

Trik membacanya: dua garis bersilangan kalau kamu tidak bisa menarik satu bidang datar yang memuat keduanya. $A B$ dan $C G$ tidak bisa dimuat satu bidang, jadi keduanya bersilangan.

Selain besar sudut, yang diukur pada bangun ruang adalah jarak. Jarak selalu diukur sepanjang ruas garis terpendek, yaitu ruas yang tegak lurus. Untuk bangun ruang, caranya hampir selalu sama: proyeksikan titiknya ke bidang, lalu selesaikan dengan Pythagoras pada segitiga siku-siku yang terbentuk.

Titik ke titik: panjang ruas garis yang menghubungkan keduanya.
Titik ke garis: tarik garis dari titik itu tegak lurus ke garis tersebut.
Titik ke bidang: tarik garis tegak lurus bidang, yang bertemu bidang di satu titik proyeksi.
Garis ke garis bersilangan: cari bidang yang memuat salah satu garis dan tegak lurus garis lainnya.

Kesebangunan, kekongruenan, dan Teorema Pythagoras

Dua bangun disebut sebangun kalau sudut-sudutnya sama besar dan sisi-sisinya sebanding. Disebut kongruen kalau bentuk dan ukurannya sama — kongruen adalah sebangun dengan faktor skala $1$ .

\frac{a _{1}}{a _{2}} = \frac{b _{1}}{b _{2}} = \frac{c _{1}}{c _{2}} = k, \frac{L _{1}}{L _{2}} = k^{2}, \frac{V _{1}}{V _{2}} = k^{3}

Contoh dikerjakan

Sebuah foto berukuran $6 \times 8$ cm diperbesar sehingga sisi terpendeknya menjadi 15 cm. Berapa luas foto setelah diperbesar?

01Cari faktor skalanya dari sisi yang sudah diketahui.
$k = \frac{15}{6} = 2, 5$
Kenapa
Sisi terpendek kedua foto saling bersesuaian, jadi perbandingannya langsung memberi $k$ .
02Hitung panjang sisi yang lain.
$8 \times 2, 5 = 20 cm$
03Hitung luas foto baru.
$15 \times 20 = 300 cm^{2}$
04Periksa dengan perbandingan luas.
$L_{awal} = 6 \times 8 = 48, 48 \times 2, 5^{2} = 48 \times 6, 25 = 300$
Kenapa
Luas harus tumbuh sebesar $k^{2} = 6, 25$ , bukan sebesar $k = 2, 5$ .

Lihat jawaban

$300 cm^{2}$ .

Teorema Pythagoras menghubungkan ketiga sisi segitiga siku-siku tanpa perlu tahu sudutnya.

c^{2} = a^{2} + b^{2}

c

adalah sisi miring, yaitu sisi di depan sudut siku-siku. Dua sisi lainnya bebas mana yang disebut

a

dan

b

Tripel dasar	Kelipatan
$3, 4, 5$	$6, 8, 10$ ; $9, 12, 15$ ; $12, 16, 20$ ; $15, 20, 25$
$5, 12, 13$	$10, 24, 26$
$8, 15, 17$	—
$7, 24, 25$	—

Trik 3 menit: kalau soal memberi sisi 15 dan sisi miring 39, curigai kelipatan tripel. $3 9^{2} - 1 5^{2} = 1521 - 225 = 1296$ , dan $1296 = 36$ . Jadi sisi ketiganya 36 cm, karena $15, 36, 39$ adalah $5, 12, 13$ dikali 3.

Transformasi geometri pada titik

Transformasi memindahkan atau mengubah bangun. Untuk titik $(x, y)$ , semuanya bisa ditulis sebagai aturan koordinat. Tabel berikut merangkum yang dipakai di soal.

Transformasi	Aturan pada $(x, y)$	Matriks
Translasi oleh $(b a)$	$(x + a, y + b)$	—
Refleksi sumbu- $x$	$(x, - y)$	$(10 0 - 1)$
Refleksi sumbu- $y$	$(- x, y)$	$(- 1 0 01)$
Refleksi garis $y = x$	$(y, x)$	$(0110)$
Refleksi garis $y = - x$	$(- y, - x)$	$(0 - 1 - 1 0)$
Refleksi garis $x = h$	$(2 h - x, y)$	—
Refleksi garis $y = k$	$(x, 2 k - y)$	—
Rotasi $9 0^{\circ}$ pusat $O$	$(- y, x)$	$(01 - 1 0)$
Rotasi $18 0^{\circ}$ pusat $O$	$(- x, - y)$	$(- 1 0 0 - 1)$
Rotasi $27 0^{\circ}$ pusat $O$	$(y, - x)$	$(0 - 1 10)$
Dilatasi pusat $O$ skala $k$	$(k x, k y)$	$(k 0 0 k)$

R [O, 18 0^{\circ}] = D [O, - 1] = refleksi terhadap titik asal = (- x, - y)

Ketiganya menghasilkan bayangan yang sama. Karena itu arah putaran pada rotasi

18 0^{\circ}

tidak perlu kamu perhatikan.

Contoh dikerjakan

Titik $P (- 3, 5)$ dicerminkan terhadap garis $y = - 2$ , lalu dirotasi $18 0^{\circ}$ dengan pusat $O (0, 0)$ . Di mana bayangan akhirnya?

01Tulis aturan tiap langkah, berurutan.
$P (x, y) refleksi y = k (x, 2 k - y) R [O, 18 0^{\circ}] (- x, - (2 k - y))$
Kenapa
Urutannya penting: refleksi dikerjakan dulu, rotasi kemudian. Membalik urutan memberi hasil yang berbeda.
02Sederhanakan aturan untuk $k = - 2$ .
$(- x, - (2 (- 2) - y)) = (- x, y + 4)$
Kenapa
$- (2 k - y)$ dengan $k = - 2$ menjadi $- (- 4 - y) = y + 4$ .
03Substitusi titik $P (- 3, 5)$ .
$(- (- 3), 5 + 4) = (3, 9)$
04Periksa langkah demi langkah.
$(- 3, 5) y = - 2 (- 3, - 9) 18 0^{\circ} (3, 9)$
Kenapa
Refleksi: $2 (- 2) - 5 = - 9$ . Rotasi $18 0^{\circ}$ : $(- x, - y) = (3, 9)$ . Hasilnya cocok dengan aturan yang sudah disederhanakan.

Lihat jawaban

$(3, 9)$ .

Keliling dan luas bangun datar

Keliling dan luas dipilih dari kata kunci soalnya. Pita, pagar, kawat, dan lis memakai keliling; cat, kertas, kaca, dan kain memakai luas.

Bangun	Keliling	Luas
Persegi	$4 s$	$s^{2}$
Persegi panjang	$2 (p + l)$	$p \times l$
Segitiga	$a + b + c$	$\frac{1}{2} \times a \times t$
Jajar genjang	—	$a \times t$
Trapesium	—	$\frac{1}{2} (a + b) \times t$
Belah ketupat dan layang-layang	—	$\frac{1}{2} d_{1} d_{2}$
Lingkaran	$2 π r$	$π r^{2}$

Untuk trapesium, belah ketupat, dan layang-layang, kelilingnya cukup jumlah semua sisi — tidak perlu rumus baru. Di tabel, yang diberi rumus hanya luas, karena di situlah orang sering salah memilih.

Untuk bangun gabungan, pecah menjadi bangun-bangun sederhana lalu jumlahkan, atau hitung bangun besar dan kurangi bagian kosongnya. Jangan mengira-ngira.

Contoh dikerjakan

Alas piring berdiameter 35 cm akan dihiasi pita emas di sekelilingnya. Harga pita Rp5.000 per meter. Berapa biaya untuk 180 alas?

01Hitung keliling satu alas.
$K = π d = \frac{22}{7} \times 35 = 110 cm$
Kenapa
Diameter 35 adalah kelipatan 7, jadi $\frac{22}{7}$ memberi hasil bulat dan cepat.
02Hitung total panjang pita.
$110 \times 180 = 19.800 cm = 198 m$
Kenapa
Harga pita ditulis per meter, jadi panjangnya harus diubah ke meter sebelum dikalikan.
03Hitung biayanya.
$198 \times 5.000 = 990.000$

Lihat jawaban

Rp990.000,00.

Volume dan luas permukaan bangun ruang

Volume dipakai kalau soal bicara isi, air, adonan, atau kapasitas. Luas permukaan dipakai kalau soal bicara bahan, kertas, cat, atau lapisan. Dua hal ini sering tertukar karena keduanya dihitung dari panjang yang sama, sehingga angkanya bisa mirip.

Bangun	Volume	Luas permukaan
Kubus	$s^{3}$	$6 s^{2}$
Balok	$p \times l \times t$	$2 (pl + pt + l t)$
Prisma	$L_{alas} \times t$	$2 L_{alas} + K_{alas} \times t$
Limas	$\frac{1}{3} L_{alas} \times t$	—
Tabung	$π r^{2} t$	selimut $2 π r t$
Kerucut	$\frac{1}{3} π r^{2} t$	selimut $π r s$ , dengan $s = r^{2} + t^{2}$
Bola	$\frac{4}{3} π r^{3}$	$4 π r^{2}$

Kalau bangunnya tanpa tutup, luas permukaan berkurang satu bidang. Tabung utuh luasnya $2 π r (r + t)$ ; tanpa alas dan tutup, yang tersisa hanya selimut $2 π r t$ .

Contoh dikerjakan

Sebuah kemasan berbentuk tabung tanpa alas dan tutup, diameter 20 cm dan tinggi 15 cm. Bagian luarnya dilapisi kertas. Kertas dijual per lembar Rp4.000, dan satu lembar menutupi $500 cm^{2}$ . Berapa biaya minimal untuk 6 kemasan?

01Hitung luas yang dilapisi.
$L = π d t = 3, 14 \times 20 \times 15 = 942 cm^{2}$
Kenapa
Tanpa alas dan tutup, jadi yang dihitung hanya selimut tabung, bukan $2 π r (r + t)$ .
02Kalikan untuk 6 kemasan.
$6 \times 942 = 5.652 cm^{2}$
03Bagi dengan luas satu lembar, lalu bulatkan ke atas.
$\frac{5.652}{500} = 11, 304 \to 12 lembar$
Kenapa
Lembar kertas tidak dijual sebagian, jadi hasil pembagian harus dibulatkan ke atas.
04Hitung biayanya.
$12 \times 4.000 = 48.000$

Lihat jawaban

Rp48.000,00.

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Memakai faktor skala untuk luas

Jawaban khas: Sisi dua kali lebih panjang, jadi luasnya dua kali.
Kenapa keliru: Perbandingan luas adalah $k^{2}$ , bukan $k$ . Setiap panjang dikalikan $k$ , sedangkan luas adalah hasil kali dua panjang, sehingga ikut dikalikan $k \times k = k^{2}$ .
Contoh tandingan: Persegi bersisi 3 cm luasnya $9 cm^{2}$ . Persegi bersisi 6 cm luasnya $36 cm^{2}$ , yaitu 4 kali, bukan 2 kali.

Miskonsepsi

Membulatkan ke bawah saat membeli bahan

Jawaban khas: $\frac{5.652}{500} = 11, 304$ , jadi cukup membeli 11 lembar.
Kenapa keliru: Lembar kertas tidak bisa dibeli sebagian. Sisa kebutuhan tetap harus tertutup, jadi pembulatan selalu ke atas.
Contoh tandingan: 11 lembar hanya menutupi $5.500 cm^{2}$ , kurang $152 cm^{2}$ dari $5.652 cm^{2}$ yang dibutuhkan.

Miskonsepsi

Mencampur sentimeter dan meter pada soal harga

Jawaban khas: Keliling 110 cm langsung dikalikan Rp5.000 per meter tanpa diubah dulu ke meter.
Kenapa keliru: Harga pita ditulis per meter, sedangkan keliling dihitung dalam sentimeter. Salah satu satuan harus diubah sebelum keduanya dikalikan.
Contoh tandingan: Untuk 180 alas, panjang pitanya $19.800 cm = 198 m$ , sehingga biayanya Rp990.000. Kalau $19.800$ dikalikan Rp5.000, hasilnya Rp99.000.000 — seratus kali lipat.

Latihan

Latihan 3.1 — geometri dan pengukuran

Kerjakan tanpa kalkulator. Tulis satuan di setiap baris.

01Dua sudut dalam sebuah segitiga besarnya $5 2^{\circ}$ dan $7 3^{\circ}$ . Besar sudut ketiganya adalah …
1. A $4 5^{\circ}$
2. B $5 5^{\circ}$
3. C $6 5^{\circ}$
4. D $12 5^{\circ}$
Pembahasan
Jumlah sudut dalam segitiga $18 0^{\circ}$ , jadi sudut ketiga $= 18 0^{\circ} - 5 2^{\circ} - 7 3^{\circ} = 5 5^{\circ}$ . Pilihan $12 5^{\circ}$ adalah jumlah kedua sudut yang diketahui, bukan sisanya.
02Sebuah segitiga siku-siku memiliki dua sisi yang saling tegak lurus, panjangnya 9 cm dan 12 cm. Panjang sisi miringnya adalah …
1. A $15$ cm
2. B $21$ cm
3. C $17$ cm
4. D $13$ cm
Pembahasan
$9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 15$ cm. Angka $9, 12, 15$ adalah tripel $3, 4, 5$ dikali 3. Pilihan $21$ cm muncul kalau kedua sisi dijumlahkan, bukan dikuadratkan lebih dulu.
03Dua bangun sebangun. Sisi yang bersesuaian panjangnya 6 cm dan 9 cm. Jika luas bangun pertama $24 cm^{2}$ , luas bangun kedua adalah …
1. A $36 cm^{2}$
2. B $48 cm^{2}$
3. C $54 cm^{2}$
4. D $60 cm^{2}$
Pembahasan
Faktor skala $k = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ , jadi luas dikalikan $k^{2} = \frac{9}{4}$ . Luasnya $24 \times \frac{9}{4} = 54 cm^{2}$ . Pilihan $36 cm^{2}$ datang dari mengalikan dengan $k$ , bukan $k^{2}$ .
04Sebuah tabung berjari-jari 7 cm dan tinggi 10 cm. Volumenya adalah … (gunakan $π = \frac{22}{7}$ )
1. A $440 cm^{3}$
2. B $770 cm^{3}$
3. C $3.080 cm^{3}$
4. D $1.540 cm^{3}$
Pembahasan
$V = π r^{2} t = \frac{22}{7} \times 49 \times 10 = 22 \times 7 \times 10 = 1.540 cm^{3}$ . Pilihan $440 cm^{3}$ adalah luas selimut $2 π r t$ , bukan volume, sehingga satuannya pun seharusnya $cm^{2}$ .
05Titik $(- 4, 7)$ dirotasi $18 0^{\circ}$ terhadap titik asal, lalu dicerminkan terhadap sumbu- $x$ . Bayangan akhirnya adalah …
1. A $(4, - 7)$
2. B $(- 4, - 7)$
3. C $(4, 7)$
4. D $(- 4, 7)$
Pembahasan
Rotasi $18 0^{\circ}$ : $(- 4, 7) \to (4, - 7)$ . Refleksi sumbu- $x$ : $(x, y) \to (x, - y)$ , sehingga $(4, - 7) \to (4, 7)$ . Pilihan $(4, - 7)$ adalah hasil rotasi saja, sebelum dicerminkan.

Rujukan kurikulum

Kisi-kisi TKA Matematika Wajib, elemen Geometri dan Pengukuran — hubungan antarsudut serta kedudukan garis dan bidang, kesebangunan dan Teorema Pythagoras, keliling dan luas bangun datar, volume dan luas permukaan bangun ruang, serta transformasi geometri.

Hubungan sudut, garis, dan bidang

Pada trapesium ABCD dengan AB∥DC, ∠A=72∘ dan ∠B=105∘. Tentukan besar ∠C dan ∠D.

Kesebangunan, kekongruenan, dan Teorema Pythagoras

Sebuah foto berukuran 6×8 cm diperbesar sehingga sisi terpendeknya menjadi 15 cm. Berapa luas foto setelah diperbesar?

Transformasi geometri pada titik

Titik P(−3,5) dicerminkan terhadap garis y=−2, lalu dirotasi 180∘ dengan pusat O(0,0). Di mana bayangan akhirnya?

Keliling dan luas bangun datar

Alas piring berdiameter 35 cm akan dihiasi pita emas di sekelilingnya. Harga pita Rp5.000 per meter. Berapa biaya untuk 180 alas?

Volume dan luas permukaan bangun ruang

Sebuah kemasan berbentuk tabung tanpa alas dan tutup, diameter 20 cm dan tinggi 15 cm. Bagian luarnya dilapisi kertas. Kertas dijual per lembar Rp4.000, dan satu lembar menutupi 500 cm2. Berapa biaya minimal untuk 6 kemasan?

Miskonsepsi yang sering muncul

Memakai faktor skala untuk luas

Membulatkan ke bawah saat membeli bahan

Mencampur sentimeter dan meter pada soal harga

Latihan

Latihan 3.1 — geometri dan pengukuran

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Pada trapesium $A B C D$ dengan $A B ∥ D C$ , $∠ A = 7 2^{\circ}$ dan $∠ B = 10 5^{\circ}$ . Tentukan besar $∠ C$ dan $∠ D$ .

Sebuah foto berukuran $6 \times 8$ cm diperbesar sehingga sisi terpendeknya menjadi 15 cm. Berapa luas foto setelah diperbesar?

Titik $P (- 3, 5)$ dicerminkan terhadap garis $y = - 2$ , lalu dirotasi $18 0^{\circ}$ dengan pusat $O (0, 0)$ . Di mana bayangan akhirnya?

Sebuah kemasan berbentuk tabung tanpa alas dan tutup, diameter 20 cm dan tinggi 15 cm. Bagian luarnya dilapisi kertas. Kertas dijual per lembar Rp4.000, dan satu lembar menutupi $500 cm^{2}$ . Berapa biaya minimal untuk 6 kemasan?