Aljabar dasar — TKA SMA Wajib

Sistem persamaan linear

Sistem persamaan linear (SPL) adalah beberapa persamaan linear yang harus dipenuhi bersama-sama. Untuk dua variabel, bentuk umumnya seperti ini.

{a_{1} x + b_{1} y = c_{1} a_{2} x + b_{2} y = c_{2}

Ada tiga cara yang semuanya sah. Eliminasi menyamakan koefisien satu variabel, lalu mengurangkan kedua persamaan. Substitusi menyatakan satu variabel dari satu persamaan, lalu memasukkannya ke persamaan lain. Determinan menghitung tiga bilangan dan membaginya.

x = \frac{D _{x}}{D}, y = \frac{D _{y}}{D}

D = a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}, D_{x} = c_{1} b_{2} - c_{2} b_{1}, D_{y} = a_{1} c_{2} - a_{2} c_{1}

D

adalah pembagi kedua nilai itu, jadi cara ini hanya dipakai kalau

D \neq = 0

Contoh dikerjakan

Berapa harga satu buku, satu pulpen, dan satu pensil?

Maya membayar Rp9.000 untuk 1 buku, 1 pulpen, dan 1 pensil. Sella membayar Rp16.000 untuk 2 buku, 1 pulpen, dan 2 pensil. Elang membayar Rp11.000 untuk 1 buku, 2 pulpen, dan 1 pensil. Nurul ingin membeli ketiga alat tulis itu masing-masing satu buah.

01Beri nama harga satuannya: $x$ untuk buku, $y$ untuk pulpen, dan $z$ untuk pensil.
02Baca data pembelian sebagai tiga persamaan.
$(1) (2) (3) x + y + z = 9.000 2 x + y + 2 z = 16.000 x + 2 y + z = 11.000$
03Baca dulu yang ditanya. Nurul membeli satu buku, satu pulpen, dan satu pensil — persis ruas kiri persamaan (1). Jadi jumlahnya sudah tertulis di sana.
Kenapa
Mencari ketiga harga satu per satu memang bisa, tetapi memakan waktu lebih lama untuk jawaban yang sama.
04Periksa dengan mengurangkan persamaan (1) dari dua persamaan lain.
$(2) - (1) : x + z = 7.000 (3) - (1) : y = 2.000$
05Jumlahkan kembali hasilnya.
$(x + z) + y = 7.000 + 2.000 = 9.000 ✓$
Kenapa
Hasilnya cocok dengan persamaan (1). Perhatikan juga bahwa $x$ dan $z$ sendiri tidak bisa ditentukan dari data ini — yang bisa dipastikan hanya jumlahnya.

Lihat jawaban

Nurul membayar Rp9.000.

Pertidaksamaan linear dan program linear

Program linear mencari nilai terbesar atau terkecil dari satu fungsi tujuan, dengan syarat beberapa pertidaksamaan linear. Urutan langkahnya tetap; mengubah urutan hanya menambah peluang salah.

Tulis model. Tentukan variabel, susun kendala (bahan, waktu, jumlah), lalu tulis fungsi tujuan.
Gambar garis batas dengan mencari titik potong sumbu: substitusi $x = 0$ dan $y = 0$ .
Tentukan daerah penyelesaian dengan uji titik $(0, 0)$ — cara tercepat.
Cari titik pojok, yaitu perpotongan garis-garis batas.
Uji titik pojok ke fungsi tujuan.

Contoh dikerjakan

Keuntungan maksimum produksi kue

Mirna memproduksi kue bolu dan brownies dengan modal Rp8.000.000. Biaya produksi bolu Rp15.000 per kotak dengan laba 40%, sedangkan brownies Rp20.000 per kotak dengan laba 35%. Kapasitas maksimum 500 kotak per hari.

01Hitung laba per kotak lebih dulu: $40% \times 15.000 = 6.000$ untuk bolu dan $35% \times 20.000 = 7.000$ untuk brownies.
02Susun kendala dan fungsi tujuan, dengan $x$ untuk bolu dan $y$ untuk brownies.
$3 x + 4 y \leq 1.600, x + y \leq 500, Z = 6.000 x + 7.000 y$
Kenapa
Kendala modal dibagi Rp5.000 lebih dulu supaya angkanya kecil: $15.000 x + 20.000 y \leq 8.000.000$ menjadi $3 x + 4 y \leq 1.600$ . Membagi dengan bilangan positif tidak mengubah tanda.
03Cari titik potong kedua garis batas, dengan $y = 500 - x$ .
$3 x + 4 (500 - x) = 1.600 \Rightarrow - x + 2.000 = 1.600 \Rightarrow x = 400, y = 100$
04Uji titik pojok ke fungsi tujuan.
$Z (500, 0) = 3.000.000, Z (0, 400) = 2.800.000, Z (400, 100) = 3.100.000$
Kenapa
Titik $(500, 0)$ dan $(0, 400)$ sama-sama memenuhi kedua kendala, tetapi nilainya lebih kecil daripada titik potong $(400, 100)$ .
05Nilai pernyataan yang biasa ditanyakan: memproduksi 200 kotak bolu salah, karena optimumnya 400. Brownies lebih banyak daripada bolu juga salah, karena hasilnya 100 berbanding 400. Keuntungan maksimum Rp3.100.000 benar.

Lihat jawaban

Keuntungan maksimum Rp3.100.000, dicapai pada 400 kotak bolu dan 100 kotak brownies.

Domain, range, dan grafik fungsi kuadrat

Tiga istilah yang sering tertukar. Domain adalah semua nilai $x$ yang boleh masuk, kodomain adalah himpunan tujuan yang dideklarasikan, dan range adalah nilai $y$ yang benar-benar dihasilkan.

Sifat fungsi bisa dibaca analitis dari rumusnya atau grafis dari bentuk kurvanya. Dari grafik, dua hal wajib bisa dibaca: titik puncak dan titik potong sumbu. Untuk $f (x) = a x^{2} + b x + c$ , keduanya punya rumus.

x_{p} = - \frac{b}{2 a}, y_{p} = - \frac{D}{4 a}, D = b^{2} - 4 a c

Grafik terbuka ke atas jika

a > 0

dan ke bawah jika

a < 0

. Grafik memotong sumbu-

x

jika

D \geq 0

Contoh dikerjakan

Membaca sifat grafik dari rumusnya

Fungsi $f (x) = 4 (x^{2} - 8 x + 12)$ . Tentukan arah grafik, titik potong sumbu, dan titik puncaknya.

01Uraikan dulu bentuknya.
$f (x) = 4 x^{2} - 32 x + 48, a = 4, b = - 32, c = 48$
02Cek arah dari tanda $a$ . Karena $a = 4 > 0$ , grafik terbuka ke atas.
03Cari titik potong sumbu- $x$ dengan memfaktorkan isi kurung.
$x^{2} - 8 x + 12 = (x - 2) (x - 6)$
Kenapa
Akarnya $x = 2$ dan $x = 6$ . Titik potong sumbu- $y$ didapat dari $f (0) = 48$ .
04Hitung titik puncak.
$x_{p} = - \frac{- 32}{2 ( 4 )} = 4, y_{p} = f (4) = 4 (16 - 32 + 12) = - 16$
05Periksa dengan rumus $y_{p} = - \frac{D}{4 a}$ .
$D = (- 32)^{2} - 4 (4) (48) = 1.024 - 768 = 256, y_{p} = - \frac{256}{16} = - 16$
Kenapa
Kedua cara memberi puncak yang sama, $(4, - 16)$ , di kuadran IV. Kecocokan ini memastikan tidak ada kesalahan tanda.

Lihat jawaban

Terbuka ke atas, memotong sumbu- $x$ di $x = 2$ dan $x = 6$ , memotong sumbu- $y$ di $48$ , dengan puncak $(4, - 16)$ .

Invers dan komposisi fungsi

Invers fungsi membalik arah pemetaan. Kalau $y = f (x)$ , maka $f^{- 1} (y) = x$ . Cara mencarinya: tukar $x$ dan $y$ , lalu selesaikan untuk $y$ .

(f^{- 1})^{- 1} = f, (f \circ f^{- 1}) (x) = x

Contoh dikerjakan

Nilai $f^{- 1} (3)$ tanpa mencari rumus invers

Diketahui $f (x) = 2 x + 3$ dengan $x \geq - \frac{3}{2}$ . Tentukan nilai $f^{- 1} (3)$ .

01Terjemahkan dulu yang ditanya. $f^{- 1} (3)$ berarti nilai $x$ yang membuat $f (x) = 3$ .
Kenapa
Rumus invers secara umum hanya perlu kalau soalnya memang meminta rumus. Untuk satu nilai, substitusi langsung lebih cepat dan lebih kecil peluang salah.
02Selesaikan persamaannya.
$2 x + 3 = 3 \Rightarrow 2 x + 3 = 9 \Rightarrow 2 x = 6 \Rightarrow x = 3$
03Periksa dengan memasukkan kembali.
$f (3) = 2 (3) + 3 = 9 = 3 ✓$

Lihat jawaban

$f^{- 1} (3) = 3$ .

Komposisi bekerja urut dari dalam: $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ , jadi $g$ dikerjakan lebih dulu dan hasilnya masuk ke $f$ . Urutannya tidak boleh dibalik.

Contoh dikerjakan

Komposisi diketahui, cari satu nilai

Diketahui $g (x) = x - 1$ dan $(f \circ g) (x) = x^{3} - 4 x$ . Tentukan nilai $f (2)$ .

01Baca artinya.
$(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x - 1) \Rightarrow f (x - 1) = x^{3} - 4 x$
02Cari $x$ yang membuat $x - 1 = 2$ , yaitu $x = 3$ .
03Substitusi $x = 3$ ke ruas kanan.
$f (2) = f (3 - 1) = 3^{3} - 4 (3) = 27 - 12 = 15$
Kenapa
Tidak perlu mencari rumus $f (x)$ lebih dulu dengan memisalkan $t = x - 1$ . Hasilnya sama, tetapi jalannya lebih panjang.

Lihat jawaban

$f (2) = 15$ .

Barisan dan deret

Yang diuji hanya dua jenis barisan, dan kata kuncinya berbeda. Bertambah tetap, selisih sama, dan penambahan konstan menandakan aritmetika. Membelah diri, berlipat, bunga majemuk, peluruhan, dan persentase tetap menandakan geometri.

U_{n} = a + (n - 1) b, S_{n} = \frac{n}{2} (2 a + (n - 1) b) = \frac{n}{2} (a + U_{n})

U_{n} = a r^{n - 1}, S_{n} = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1} (r \neq = 1), S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} (∣ r ∣ < 1)

Situasi	Jenis	Rumus
Bunga tunggal	Aritmetika	$M_{n} = M_{0} (1 + n \cdot i)$
Bunga majemuk	Geometri	$M_{n} = M_{0} (1 + i)^{n}$
Pertumbuhan $p %$ per periode	Geometri	$M_{n} = M_{0} (1 + p)^{n}$
Peluruhan $p %$ per periode	Geometri	$M_{n} = M_{0} (1 - p)^{n}$

Contoh dikerjakan

Kursi yang ditata bertingkat

Baris paling depan sebuah aula berisi 12 kursi, dan setiap baris berikutnya bertambah 3 kursi dengan pola tetap. Berapa banyak kursi pada baris ke-7?

01Kenali jenisnya. Pertambahannya tetap, jadi ini aritmetika dengan $a = 12$ dan $b = 3$ .
02Pakai rumus suku ke- $n$ .
$U_{7} = 12 + 6 (3) = 12 + 18 = 30$
03Periksa dengan mencacah.
$12, 15, 18, 21, 24, 27, 30 ✓$
Kenapa
Untuk $n$ kecil, mencacah justru lebih aman karena tidak mungkin salah rumus. Hasilnya di sini cocok dengan rumus.

Lihat jawaban

Baris ke-7 berisi 30 kursi.

Contoh dikerjakan

Bunga majemuk selama tiga tahun

Rina menginvestasikan Rp7.000.000 pada produk berbunga majemuk $10%$ per tahun. Bunga ditambahkan ke saldo setiap akhir tahun, dengan jatuh tempo 3 tahun.

01Kenali jenisnya. Bunga majemuk ditambahkan ke saldo berjalan, jadi ini geometri dengan $r = 1, 10$ .
02Hitung tahun pertama.
$7.000.000 \times 1, 1 = 7.700.000$
03Hitung tahun kedua dari saldo baru.
$7.700.000 \times 1, 1 = 8.470.000$
04Hitung tahun ketiga.
$8.470.000 \times 1, 1 = 9.317.000$
Kenapa
Menghitung bertahap lebih kecil kemungkinan salah tekan daripada langsung $M_{0} (1 + i)^{n}$ , dan hasil antaranya bisa dipakai memeriksa pilihan jawaban yang mencurigakan.

Lihat jawaban

Rp9.317.000,00.

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Bunga tunggal dihitung seperti bunga majemuk

Jawaban khas: Rp7.000.000 dengan bunga $10%$ per tahun selama 3 tahun dihitung $7.000.000 (1, 1)^{3}$ padahal bunganya tunggal.
Kenapa keliru: Bunga tunggal selalu dihitung dari modal awal, sehingga pertambahannya tetap Rp700.000 per tahun dan polanya aritmetika. Bunga majemuk dihitung dari saldo berjalan, sehingga polanya geometri.
Contoh tandingan: Tunggal: $7.000.000 + 3 (700.000) = 9.100.000$ . Majemuk: $9.317.000$ . Selisih Rp217.000 — cukup besar untuk mengubah pilihan jawaban.

Miskonsepsi

Komposisi dikerjakan dari kanan ke kiri

Jawaban khas: Membaca $(f \circ g) (x)$ sebagai $g (f (x))$ .
Kenapa keliru: $(f \circ g) (x) = f (g (x))$ : yang di dalam kurung dikerjakan lebih dulu, yaitu $g$ . Komposisi juga tidak komutatif, jadi $(f \circ g) \neq = (g \circ f)$ pada umumnya.
Contoh tandingan: Ambil $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x + 1$ . $(f \circ g) (2) = f (3) = 9$ , sedangkan $(g \circ f) (2) = g (4) = 5$ .

Miskonsepsi

Tanda pertidaksamaan tidak dibalik saat dikali bilangan negatif

Jawaban khas: $- 2 x < 6$ diselesaikan menjadi $x < - 3$ .
Kenapa keliru: Mengalikan atau membagi pertidaksamaan dengan bilangan negatif membalik tanda ketidaksamaan. Tanpa itu, himpunan penyelesaiannya justru terbalik.
Contoh tandingan: Nilai $x = 1$ memenuhi $- 2 (1) = - 2 < 6$ , tetapi $1 < - 3$ jelas salah. Penyelesaian yang benar adalah $x > - 3$ .

Miskonsepsi

Menguji titik yang bukan pojok lalu menyimpulkan itu optimum

Jawaban khas: Menguji $(200, 200)$ , mendapat $Z = 2.600.000$ , lalu menyimpulkan itu keuntungan maksimum.
Kenapa keliru: Nilai optimum fungsi tujuan linear hanya terjadi di titik pojok daerah penyelesaian. Titik di dalam daerah boleh diuji, tetapi hasilnya tidak membuktikan apa pun.
Contoh tandingan: $Z (200, 200) = 6.000 (200) + 7.000 (200) = 2.600.000$ , sedangkan titik pojok $(400, 100)$ memberi $2.400.000 + 700.000 = 3.100.000$ .

Latihan

Latihan 2.1 — aljabar dasar

Lima soal dengan campuran sub-elemen. Kerjakan tanpa kalkulator lebih dulu, lalu periksa dengan hitungan bertahap.

01Diketahui $x + y + z = 9.000$ dan $2 x + y + 2 z = 16.000$ . Nilai $x + z$ adalah …
1. ARp5.000
2. BRp7.000
3. CRp9.000
4. DRp11.000
Pembahasan
Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua: $16.000 - 9.000 = 7.000$ , sehingga $x + z = 7.000$ . Pilihan Rp9.000 adalah nilai $x + y + z$ , bukan $x + z$ .
02Fungsi tujuan $Z = 6.000 x + 7.000 y$ dievaluasi di titik $(400, 100)$ . Nilai $Z$ sama dengan …
1. ARp2.800.000
2. BRp3.000.000
3. CRp3.100.000
4. DRp3.400.000
Pembahasan
$6.000 (400) + 7.000 (100) = 2.400.000 + 700.000 = 3.100.000$ . Pilihan Rp2.800.000 berasal dari $7.000 \times 400$ , yaitu nilai di titik $(0, 400)$ .
03Titik puncak grafik $f (x) = 4 (x^{2} - 8 x + 12)$ adalah …
1. A $(4, - 16)$
2. B $(- 4, - 16)$
3. C $(4, 16)$
4. D $(- 4, 16)$
Pembahasan
$x_{p} = - \frac{- 32}{2 ( 4 )} = 4$ dan $y_{p} = f (4) = 4 (16 - 32 + 12) = - 16$ . Pilihan $(4, 16)$ muncul kalau tanda negatif pada $y_{p}$ diabaikan.
04Diketahui $f (x) = 2 x + 3$ dengan $x \geq - \frac{3}{2}$ . Nilai $f^{- 1} (3)$ adalah …
1. A $6$
2. B $9$
3. C $12$
4. D $3$
Pembahasan
$f^{- 1} (3)$ berarti selesaikan $f (x) = 3$ : $2 x + 3 = 3$ , lalu $2 x + 3 = 9$ dan $2 x = 6$ , sehingga $x = 3$ . Pilihan $9$ berasal dari berhenti setelah mengkuadratkan kedua ruas.
05Rina menginvestasikan Rp7.000.000 dengan bunga majemuk $10%$ per tahun. Uangnya setelah 3 tahun adalah …
1. ARp8.470.000
2. BRp9.100.000
3. CRp9.317.000
4. DRp9.370.000
Pembahasan
Hitung dari saldo berjalan: $7.000.000 \times 1, 1 = 7.700.000$ , lalu $8.470.000$ , lalu $9.317.000$ . Pilihan Rp8.470.000 adalah saldo akhir tahun kedua, dan Rp9.100.000 adalah hasil bunga tunggal.

Rujukan kurikulum

Elemen Aljabar — persamaan dan pertidaksamaan linear, fungsi, serta barisan dan deret.

Sistem persamaan linear

Berapa harga satu buku, satu pulpen, dan satu pensil?

Pertidaksamaan linear dan program linear

Keuntungan maksimum produksi kue

Domain, range, dan grafik fungsi kuadrat

Membaca sifat grafik dari rumusnya

Invers dan komposisi fungsi

Nilai f−1(3) tanpa mencari rumus invers

Komposisi diketahui, cari satu nilai

Barisan dan deret

Kursi yang ditata bertingkat

Bunga majemuk selama tiga tahun

Miskonsepsi yang sering muncul

Bunga tunggal dihitung seperti bunga majemuk

Komposisi dikerjakan dari kanan ke kiri

Tanda pertidaksamaan tidak dibalik saat dikali bilangan negatif

Menguji titik yang bukan pojok lalu menyimpulkan itu optimum

Latihan

Latihan 2.1 — aljabar dasar

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Nilai $f^{- 1} (3)$ tanpa mencari rumus invers