Bilangan dan operasinya — TKA SMA Wajib

Porsi kecil, waktu paling singkat

Bilangan menyumbang 3 dari 25 soal (12%). Porsinya tidak besar. Yang membuat elemen ini berharga justru waktunya: tiga soal bilangan seharusnya selesai di bawah 3 menit total.

Di bank soal resmi, butir untuk bilangan seluruhnya bertipe Knowing: K9 untuk operasi bilangan berpangkat, K11 untuk bentuk akar, dan K35 untuk pecahan. Tidak ada butir Applying maupun Reasoning untuk elemen ini.

Jenis bilangan yang perlu kamu kenali

Hampir semua soal bilangan bertumpu pada satu hal: kamu tahu sebuah bilangan masuk himpunan yang mana. Tabel berikut merangkumnya.

Himpunan	Lambang	Isi	Contoh
Bilangan asli	$N$	mulai dari 1	$1, 2, 3, \dots$
Bilangan cacah	$W$	mulai dari 0	$0, 1, 2, 3, \dots$
Bilangan bulat	$Z$	negatif, nol, positif	$\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots$
Bilangan rasional	$Q$	dapat ditulis $\frac{a}{b}$ dengan $b \neq = 0$	$\frac{1}{2}$ , $0, 75$ , $- 3$
Bilangan irasional	—	tidak dapat ditulis sebagai pecahan	$2$ , $π$ , $e$
Bilangan real	$R$	rasional dan irasional	semua di atas
Bilangan prima	—	hanya habis dibagi 1 dan dirinya sendiri	$2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$

$0$ bukan bilangan asli, melainkan bilangan cacah. Inilah pembeda $N$ dan $W$ .
$1$ bukan bilangan prima. Prima terkecil adalah $2$ , dan $2$ satu-satunya prima genap.
$0$ bukan bilangan positif dan bukan bilangan negatif.
$4 = 2$ adalah bilangan rasional meski bentuknya akar. Yang irasional adalah akar yang tidak menghasilkan bilangan bulat.

Contoh dikerjakan

Diketahui $A = {x ∣ x \leq 8, x \in N}$ , $B = {x ∣ x ganjil positif, x < 12}$ , dan $C = {x ∣ x \leq 7, x prima}$ . Tentukan $(A \cap B) \cup C$ .

01Daftarkan anggota setiap himpunan lebih dulu.
$A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, C = {2, 3, 5, 7}$
Kenapa
Mengoperasikan himpunan tanpa mendaftarkan anggotanya hampir selalu berakhir salah hitung.
02Ambil anggota $A$ yang juga ganjil, yaitu irisannya dengan $B$ .
$A \cap B = {1, 3, 5, 7}$
Kenapa
Anggota $B$ yang lebih dari $8$ , yaitu $9$ dan $11$ , tidak ada di $A$ sehingga gugur.
03Gabungkan hasilnya dengan $C$ .
$(A \cap B) \cup C = {1, 3, 5, 7} \cup {2, 3, 5, 7} = {1, 2, 3, 5, 7}$
Kenapa
Anggota yang muncul di kedua himpunan ditulis satu kali saja.
04Periksa dari mana angka $1$ berasal.
Kenapa
$1$ ganjil sehingga masuk $A \cap B$ , tetapi $1$ bukan prima sehingga tidak mungkin berasal dari $C$ .

Lihat jawaban

$(A \cap B) \cup C = {1, 2, 3, 5, 7}$ .

Miskonsepsi

Memasukkan $0$ ke bilangan asli dan $1$ ke bilangan prima

Jawaban khas: Menganggap $N = {0, 1, 2, 3, \dots}$ dan menyebut $1$ sebagai bilangan prima terkecil
Kenapa keliru: Bilangan asli mulai dari $1$ , sedangkan yang mulai dari $0$ adalah bilangan cacah. Bilangan prima menuntut tepat dua pembagi berbeda, sementara $1$ hanya punya satu pembagi, yaitu dirinya sendiri.
Contoh tandingan: Pada daftar $A$ di atas, $0$ tidak muncul sama sekali karena $A$ dibangun dari bilangan asli. Prima terkecil adalah $2$ , dan karena setiap bilangan genap lain habis dibagi $2$ , $2$ satu-satunya prima genap.

Sifat operasi dan trik berhitung

Penjumlahan dan perkalian punya tiga sifat yang boleh kamu pakai untuk menghitung lebih cepat.

Pengurangan dan pembagian tidak punya kedua sifat pertama. Ini sering muncul sebagai soal benar-salah, jadi periksa urutannya baik-baik sebelum memilih.

37 \times 99 = 37 (100 - 1) = 3700 - 37 = 3663

Bilangan yang hampir bulat lebih mudah ditulis sebagai selisih dengan bilangan bulat.

48 \times 25 = 12 \times 4 \times 25 = 12 \times 100 = 1200

Karena

4 \times 25 = 100

, memecah

48

menjadi

12 \times 4

membuat perkalian selesai tanpa susun panjang.

Contoh dikerjakan

$\frac{1}{4} + \frac{7}{4} \times \frac{8}{21} = \dots$

01Kerjakan perkalian lebih dulu.
$\frac{7}{4} \times \frac{8}{21} = \frac{56}{84} = \frac{2}{3}$
Kenapa
Urutan operasi menaruh pangkat dan akar lebih dulu, lalu kali dan bagi, baru tambah dan kurang.
02Sederhanakan dengan membagi silang sebelum mengalikan.
$\frac{7}{4} \times \frac{8}{21} = \frac{1 \times 2}{1 \times 3} = \frac{2}{3}$
Kenapa
Mengalikan dulu lalu menyederhanakan membuat angkanya besar dan rawan salah. Di sini $7$ dengan $21$ menjadi $1$ dan $3$ , sedangkan $8$ dengan $4$ menjadi $2$ dan $1$ .
03Jumlahkan dengan penyebut yang sama.
$\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}$

Lihat jawaban

$\frac{11}{12}$ .

Miskonsepsi

Menganggap pengurangan dan pembagian komutatif

Jawaban khas: Menukar urutan pengurangan atau pembagian tanpa mengubah hasil, misalnya menulis $a - b = b - a$
Kenapa keliru: Hanya penjumlahan dan perkalian yang komutatif dan asosiatif. Pengurangan dan pembagian tidak, sehingga menukar urutan selalu mengubah hasil.
Contoh tandingan: $7 - 3 = 4$ , sedangkan $3 - 7 = - 4$ . Pada sifat asosiatif pun gagal: $(10 - 4) - 3 = 3$ , tetapi $10 - (4 - 3) = 9$ .

Pangkat bulat dan pangkat pecahan

Semua sifat pangkat bertumpu pada satu gagasan: basis yang sama boleh digabung, basis yang berbeda tidak. Karena itu langkah pertama pada hampir setiap soal pangkat adalah menyamakan basisnya.

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}, (a^{m})^{n} = a^{mn}

Perhatikan bahwa pangkatnya ditambah, dikurang, dan dikali — masing-masing untuk operasi yang berbeda.

(ab)^{n} = a^{n} b^{n}, (\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}, a^{0} = 1 (a \neq = 0), a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

a^{0} = 1

menuntut

a \neq = 0

; tanpa syarat itu bentuknya tidak terdefinisi.

Pangkat pecahan hanyalah cara lain menulis akar, dan aturannya tetap sama.

a^{\frac{m}{n}} = n a^{m} = (n a)^{m}, a \cdot b = ab, \frac{a}{b} = \frac{a}{b}

Karena

a^{\frac{1}{n}} = n a

, sifat pangkat di atas berlaku juga untuk bentuk akar.

Contoh dikerjakan

Sederhanakan $\frac{2 ^{\frac{2}{3}} \times 2 7 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{\frac{1}{2}} \times 4 ^{\frac{1}{3}}}$ .

01Ubah $27$ dan $4$ menjadi pangkat dengan basis $3$ dan $2$ .
$2 7^{\frac{1}{2}} = (3^{3})^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}, 4^{\frac{1}{3}} = (2^{2})^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$
Kenapa
Sifat $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ hanya berlaku kalau basisnya sudah sama. Tanpa langkah ini, pangkat tidak boleh dikurangkan.
02Susun ulang pembilang dan penyebut.
$\frac{2 ^{\frac{2}{3}} \times 3 ^{\frac{3}{2}}}{3 ^{\frac{1}{2}} \times 2 ^{\frac{2}{3}}}$
03Gabungkan per basis, lalu hitung.
$2^{\frac{2}{3} - \frac{2}{3}} \times 3^{\frac{3}{2} - \frac{1}{2}} = 2^{0} \times 3^{1} = 1 \times 3 = 3$
Kenapa
Basis $2$ dan basis $3$ dihitung terpisah karena keduanya tidak bisa digabung.

Lihat jawaban

$3$ .

Miskonsepsi

Membaca $a^{- n}$ sebagai $- a^{n}$

Jawaban khas: Menulis $2^{- 3} = - 2^{3} = - 8$
Kenapa keliru: Pangkat negatif berarti membalik, bukan memberi tanda negatif pada hasilnya: $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$ . Tanda minusnya milik eksponen, bukan milik bilangan.
Contoh tandingan: $2^{- 3} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ , sebuah bilangan positif. Hasilnya berbeda jauh dari $- 8$ .

Merasionalkan bentuk akar

Penyebut yang memuat akar dirapikan dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan bentuk sekawan. Tujuannya satu: membuat penyebutnya menjadi bilangan rasional.

\frac{1}{a} = \frac{a}{a}, \frac{1}{a + b} = \frac{a - b}{a ^{2} - b}, \frac{1}{a + b} = \frac{a - b}{a - b}

Rumus kedua dan ketiga tidak lain adalah

(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}

yang ditulis ulang.

Contoh dikerjakan

Rasionalkan $\frac{6}{3 - 3}$ .

01Tentukan sekawan penyebutnya.
Kenapa
Sekawan dari $3 - 3$ adalah $3 + 3$ . Perkalian keduanya memakai $(x - y) (x + y) = x^{2} - y^{2}$ , sehingga akarnya hilang.
02Kalikan pembilang dan penyebut dengan sekawan itu.
$\frac{6}{3 - 3} \times \frac{3 + 3}{3 + 3} = \frac{6 ( 3 + 3 )}{9 - 3}$
Kenapa
Nilai pecahan tidak berubah karena yang dikalikan adalah bentuk $\frac{3 + 3}{3 + 3}$ , yaitu $1$ .
03Hitung penyebutnya, lalu sederhanakan.
$\frac{6 ( 3 + 3 )}{6} = 3 + 3$
Kenapa
Angka $6$ di pembilang habis dibagi $6$ di penyebut, jadi tidak ada yang tersisa di luar kurung.
04Periksa dengan mengalikan kembali penyebutnya.
$(3 - 3) (3 + 3) = 9 - 3 = 6$
Kenapa
Penyebut yang menjadi bilangan rasional adalah tanda jawabanmu sudah rapi.

Lihat jawaban

$3 + 3$ .

Operasi biner yang didefinisikan soal

Operasi biner pada soal TKA bukan operasi yang sudah kamu hafal. Definisinya ditulis di soal, dan yang perlu kamu lakukan hanya substitusi — bukan mencari pola umum.

Contoh dikerjakan

Didefinisikan $a \oplus b = (a + b)^{2} - 2 ab$ untuk bilangan real tidak negatif $a$ dan $b$ . Jika $a \oplus 3 = 25$ , tentukan nilai $a$ , lalu nilai pernyataan: (1) $a$ bilangan genap; (2) $a$ bilangan prima; (3) $a \oplus 0 = 16$ .

01Substitusi $b = 3$ ke definisi.
$(a + 3)^{2} - 2 a (3) = 25$
Kenapa
Ganti setiap $b$ dengan $3$ . Tidak ada aturan lain yang perlu diingat.
02Jabarkan, lalu sederhanakan.
$a^{2} + 6 a + 9 - 6 a = 25 ⟹ a^{2} + 9 = 25$
Kenapa
Suku $6 a$ dan $- 6 a$ saling menghapus, sehingga persamaannya menjadi jauh lebih sederhana.
03Selesaikan persamaannya.
$a^{2} = 16 ⟹ a = 4 atau a = - 4$
04Terapkan syarat domain.
Kenapa
Soal menyebut $a$ dan $b$ bilangan real tidak negatif, jadi $a = - 4$ gugur dan tinggal $a = 4$ .
05Nilai ketiga pernyataan.
Kenapa
$4$ bilangan genap, jadi pernyataan pertama benar. $4$ bukan prima karena $4 = 2 \times 2$ , jadi pernyataan kedua salah. $4 \oplus 0 = (4 + 0)^{2} - 2 (4) (0) = 16$ , jadi pernyataan ketiga benar.

Lihat jawaban

Benar – Salah – Benar, dengan $a = 4$ .

Miskonsepsi

Memakai semua akar tanpa memeriksa syarat

Jawaban khas: Menjawab $a = 4$ atau $a = - 4$ lalu memakai keduanya untuk menilai pernyataan
Kenapa keliru: Definisi di soal membatasi $a$ dan $b$ pada bilangan real tidak negatif. Akar yang tidak memenuhi syarat harus dibuang, bukan diikutkan.
Contoh tandingan: Memang $(- 4) \oplus 3 = ((- 4) + 3)^{2} - 2 (- 4) (3) = 1 + 24 = 25$ , jadi $- 4$ memenuhi persamaannya. Tetapi $- 4$ negatif, sehingga tidak memenuhi syarat soal.

Latihan

Latihan 1.1 — jenis bilangan dan operasinya

Target waktu satu menit per butir.

01Pernyataan yang benar adalah …
1. A $0$ bilangan asli dan $1$ bilangan prima
2. B $0$ bilangan cacah dan $1$ bukan bilangan prima
3. C $0$ bilangan prima dan $1$ bilangan cacah
4. D $0$ bukan bilangan bulat dan $1$ bukan bilangan prima
Pembahasan
Bilangan asli mulai dari $1$ , sedangkan bilangan cacah mulai dari $0$ . Prima menuntut tepat dua pembagi, dan $1$ hanya punya satu pembagi, yaitu dirinya sendiri. Pilihan pertama menukar kedua fakta itu.
02Bentuk sederhana dari $\frac{2 ^{\frac{2}{3}} \times 2 7 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{\frac{1}{2}} \times 4 ^{\frac{1}{3}}}$ adalah …
1. A $1$
2. B $3$
3. C $3$
4. D $9$
Pembahasan
$2 7^{\frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$ dan $4^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}}$ . Untuk basis $2$ : $\frac{2}{3} - \frac{2}{3} = 0$ , jadi $2^{0} = 1$ . Untuk basis $3$ : $\frac{3}{2} - \frac{1}{2} = 1$ , jadi $3^{1} = 3$ . Pilihan $9$ muncul kalau pangkatnya dikalikan, bukan dikurangkan.
03Bentuk rasional dari $\frac{6}{3 - 3}$ adalah …
1. A $3 + 3$
2. B $6 + 3$
3. C $3 - 3$
4. D $3$
Pembahasan
Kalikan dengan sekawan $3 + 3$ : penyebut menjadi $9 - 3 = 6$ , lalu $\frac{6 ( 3 + 3 )}{6} = 3 + 3$ . Pilihan $6 + 3$ muncul kalau angka $6$ di pembilang tidak dibagi $6$ di penyebut.
04Didefinisikan $a \oplus b = (a + b)^{2} - 2 ab$ untuk $a$ dan $b$ bilangan real tidak negatif. Jika $a \oplus 3 = 25$ , maka $a = \dots$
1. A $- 4$ atau $4$
2. B $4$
3. C $5$
4. D $16$
Pembahasan
$(a + 3)^{2} - 6 a = a^{2} + 6 a + 9 - 6 a = a^{2} + 9 = 25$ , sehingga $a^{2} = 16$ dan $a = 4$ atau $a = - 4$ . Syarat tidak negatif membuang $- 4$ . Pilihan $16$ adalah nilai $a^{2}$ , bukan nilai $a$ .
05Nilai dari $\frac{1}{4} + \frac{7}{4} \times \frac{8}{21}$ adalah …
1. A $\frac{16}{21}$
2. B $\frac{2}{3}$
3. C $\frac{7}{12}$
4. D $\frac{11}{12}$
Pembahasan
Perkalian dikerjakan lebih dulu: $\frac{7}{4} \times \frac{8}{21} = \frac{56}{84} = \frac{2}{3}$ . Lalu $\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3}{12} + \frac{8}{12} = \frac{11}{12}$ . Pilihan $\frac{16}{21}$ muncul kalau penjumlahan dikerjakan lebih dulu: $\frac{1}{4} + \frac{7}{4} = 2$ , lalu $2 \times \frac{8}{21} = \frac{16}{21}$ .

Rujukan kurikulum

Elemen Bilangan pada asesmen TKA — bilangan real, termasuk bilangan asli berpangkat bilangan bulat atau berpangkat bilangan pecahan, tanpa bilangan kompleks dan tanpa logaritma.

Porsi kecil, waktu paling singkat

Jenis bilangan yang perlu kamu kenali

Diketahui A={x∣x≤8, x∈N}, B={x∣x ganjil positif, x<12}, dan C={x∣x≤7, x prima}. Tentukan (A∩B)∪C.

Memasukkan 0 ke bilangan asli dan 1 ke bilangan prima

Sifat operasi dan trik berhitung

41​+47​×218​=…

Menganggap pengurangan dan pembagian komutatif

Pangkat bulat dan pangkat pecahan

Sederhanakan 321​×431​232​×2721​​.

Membaca a−n sebagai −an

Merasionalkan bentuk akar

Rasionalkan 3−3​6​.

Operasi biner yang didefinisikan soal

Didefinisikan a⊕b=(a+b)2−2ab untuk bilangan real tidak negatif a dan b. Jika a⊕3=25, tentukan nilai a, lalu nilai pernyataan: (1) a bilangan genap; (2) a bilangan prima; (3) a⊕0=16.

Memakai semua akar tanpa memeriksa syarat

Latihan

Latihan 1.1 — jenis bilangan dan operasinya

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.

Diketahui $A = {x ∣ x \leq 8, x \in N}$ , $B = {x ∣ x ganjil positif, x < 12}$ , dan $C = {x ∣ x \leq 7, x prima}$ . Tentukan $(A \cap B) \cup C$ .

Memasukkan $0$ ke bilangan asli dan $1$ ke bilangan prima

$\frac{1}{4} + \frac{7}{4} \times \frac{8}{21} = \dots$

Sederhanakan $\frac{2 ^{\frac{2}{3}} \times 2 7 ^{\frac{1}{2}}}{3 ^{\frac{1}{2}} \times 4 ^{\frac{1}{3}}}$ .

Membaca $a^{- n}$ sebagai $- a^{n}$

Rasionalkan $\frac{6}{3 - 3}$ .

Didefinisikan $a \oplus b = (a + b)^{2} - 2 ab$ untuk bilangan real tidak negatif $a$ dan $b$ . Jika $a \oplus 3 = 25$ , tentukan nilai $a$ , lalu nilai pernyataan: (1) $a$ bilangan genap; (2) $a$ bilangan prima; (3) $a \oplus 0 = 16$ .