Peluang bersyarat — SMA Wajib Kelas XII

Ruang sampelnya menyusut

Peluang bersyarat menjawab pertanyaan berbentuk “berapa peluang $A$ , jika diketahui $B$ terjadi?”. Begitu $B$ diketahui, dunia yang kita hitung bukan lagi seluruh ruang sampel, melainkan hanya bagian $B$ .

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}, P (B) > 0

Notasi $P (A ∣ B)$ dibaca “peluang $A$ dengan syarat $B$ ”. Garis tegak itu bukan tanda bagi; ia memisahkan kejadian yang dicari dari syaratnya.

Membaca dari tabel

Soal peluang bersyarat paling aman diselesaikan lewat tabel. Contoh: dari 100 siswa, 40 mengikuti tambahan matematika, 25 mengikuti tambahan fisika, dan 15 mengikuti keduanya.

	Ikut fisika	Tidak ikut fisika	Total
Ikut matematika	15	25	40
Tidak ikut matematika	10	50	60
Total	25	75	100

Perhatikan bahwa isi tabel harus konsisten: $15 + 25 = 40$ , $15 + 10 = 25$ , dan seluruh sel berjumlah 100. Kalau salah satu tidak cocok, kesalahannya ada di tabel, bukan di rumus.

Peluang seorang siswa ikut matematika jika diketahui ia ikut fisika: penyebutnya bukan 100, tetapi 25.

P (M ∣ F) = \frac{15}{25} = 0, 6

Sebaliknya, peluang ia ikut fisika jika diketahui ikut matematika memakai penyebut 40:

P (F ∣ M) = \frac{15}{40} = 0, 375

Saling bebas bukan saling lepas

Dua kejadian disebut saling bebas kalau terjadinya yang satu tidak mengubah peluang yang lain. Ujiannya:

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

Pada contoh tadi, $P (M) = 0, 4$ dan $P (F) = 0, 25$ , sehingga $P (M) \cdot P (F) = 0, 1$ . Padahal $P (M \cap F) = 0, 15$ . Karena $0, 15 \neq = 0, 1$ , kedua kejadian ini tidak saling bebas.

Saling bebas juga bisa diperiksa lewat peluang bersyarat: kalau saling bebas, maka $P (A ∣ B) = P (A)$ . Di sini $P (M ∣ F) = 0, 6$ sedangkan $P (M) = 0, 4$ — berbeda, jadi memang tidak bebas.

Contoh dikerjakan

Dari 100 siswa tersebut, berapa peluang siswa ikut matematika jika diketahui ia tidak ikut fisika?

01Tentukan syaratnya lebih dulu.
$B = tidak ikut fisika$
Kenapa
Kalimat “jika diketahui” menandai syarat. Di sini syaratnya bukan “ikut fisika”, melainkan kebalikannya — itu mudah terlewat.
02Ambil angka dari kolom syarat, bukan dari total keseluruhan.
$P (B) = \frac{75}{100} = 0, 75$
Kenapa
Kolom “tidak ikut fisika” berjumlah 75. Inilah ruang sampel yang baru.
03Ambil irisannya: siswa yang ikut matematika dan tidak ikut fisika.
$P (M \cap B) = \frac{25}{100} = 0, 25$
04Bagi irisan dengan syarat.
$P (M ∣ B) = \frac{0 , 25}{0 , 75} = \frac{1}{3} \approx 0, 333$
Kenapa
Bisa juga langsung $\frac{25}{75}$ . Hasilnya sama; membagi bilangan kecil dulu hanya mengurangi risiko salah hitung.

Lihat jawaban

$P (M ∣ tidak ikut fisika) = \frac{25}{75} = \frac{1}{3} \approx 0, 333$ .

Miskonsepsi yang sering muncul

Miskonsepsi

Menukar syarat dengan kejadian yang dicari

Jawaban khas: Ditanya $P (M ∣ F)$ , dijawab $\frac{15}{40} = 0, 375$
Kenapa keliru: Penyebut harus banyaknya kelompok syarat, yaitu peminat fisika (25). Angka 40 adalah kelompok matematika, yang dipakai kalau pertanyaannya dibalik.
Contoh tandingan: Uji dengan kasus ekstrem: kalau semua 25 peminat fisika juga ikut matematika, maka $P (M ∣ F)$ harus 1. Dengan rumus yang benar, $\frac{25}{25} = 1$ . Rumus yang salah akan memberi $\frac{25}{40} = 0, 625$ .

Miskonsepsi

Menganggap saling bebas tanpa diuji

Jawaban khas: $P (M \cap F) = 0, 4 \times 0, 25 = 0, 1$ , jadi ada 10 siswa
Kenapa keliru: Perkalian itu hanya sah kalau kedua kejadian sudah terbukti saling bebas. Di sini justru tidak: mengikuti matematika membuat peluang mengikuti fisika berubah.
Contoh tandingan: Tabel menyebut 15 siswa, bukan 10. Selisih 5 siswa itulah bukti bahwa keduanya bergantung.

Miskonsepsi

Menganggap saling lepas sama dengan saling bebas

Jawaban khas: “Karena tidak saling bebas, berarti keduanya saling lepas”
Kenapa keliru: Saling lepas berarti irisannya kosong. Di sini irisannya 15 siswa, jadi jelas tidak lepas. Kedua istilah itu tidak berlawanan, dan tidak saling menggantikan.
Contoh tandingan: Kalau keduanya saling lepas, $P (M \cap F) = 0$ , sehingga $P (M ∣ F) = 0$ . Nyatanya $P (M ∣ F) = 0, 6$ .

Yang perlu diingat

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ — penyebutnya peluang syarat.
Kata “jika”, “diketahui”, atau “padahal” menandai syarat $B$ .
Tabel kontingensi lebih aman daripada menghafal rumus.
Saling bebas: $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ , setara dengan $P (A ∣ B) = P (A)$ .
Saling lepas: $P (A \cap B) = 0$ . Ini bukan hal yang sama.

Latihan

Kerjakan kelima soal ini dengan tabel atau diagram pohon sebelum kamu membuka pembahasan.

01Tabel dua arah berikut merangkum 30 siswa. $M M^{c} jumlah F 6612 F^{c} 12618 jumlah 181230$ Jika $M$ menyatakan ikut matematika dan $F$ menyatakan ikut fisika, berapa $P (M ∣ F)$ ?
1. A $\frac{1}{3}$
2. B $\frac{1}{2}$
3. C $\frac{3}{5}$
4. D $\frac{2}{3}$
Pembahasan
$P (M ∣ F)$ memakai kelompok $F$ sebagai penyebut. Ada 12 siswa yang ikut fisika, dan 6 di antaranya juga ikut matematika, sehingga $P (M ∣ F) = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$ . Menjawab $\frac{1}{3}$ berarti memakai $\frac{6}{18} = P (F ∣ M)$ , yaitu syaratnya terbalik; $\frac{3}{5}$ adalah $P (M) = \frac{18}{30}$ tanpa syarat, sedangkan $\frac{2}{3}$ adalah peluang tidak ikut fisika di antara yang ikut matematika.
02Sebuah kantong berisi 3 bola merah dan 3 bola biru. Kamu mengambil dua bola satu per satu tanpa pengembalian. Berapa peluang bola pertama merah dan bola kedua biru?
1. A $\frac{1}{5}$
2. B $\frac{1}{4}$
3. C $\frac{3}{10}$
4. D $\frac{2}{5}$
Pembahasan
Peluang bola pertama merah adalah $\frac{3}{6}$ . Setelah satu bola merah diambil, tersisa 2 bola merah dan 3 bola biru, sehingga peluang bola kedua biru adalah $\frac{3}{5}$ . Aturan perkalian memberi $\frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$ . Menjawab $\frac{1}{5}$ berarti mengambil cabang merah–merah, bukan merah–biru; $\frac{1}{4}$ muncul jika pengambilan dikira dengan pengembalian, karena $\frac{3}{6} \times \frac{3}{6} = \frac{1}{4}$ ; sedangkan $\frac{2}{5}$ hanya peluang merah pada pengambilan kedua setelah merah pada pengambilan pertama.
03Dari 40 siswa, 20 ikut klub musik, 12 ikut klub olahraga, dan 4 ikut keduanya. Jika $M$ menyatakan ikut musik dan $O$ menyatakan ikut olahraga, berapa $P (O ∣ M^{c})$ ?
1. A $\frac{1}{10}$
2. B $\frac{1}{5}$
3. C $\frac{3}{10}$
4. D $\frac{2}{5}$
Pembahasan
Ada $40 - 20 = 20$ siswa yang tidak ikut musik. Dari 12 siswa yang ikut olahraga, 4 juga ikut musik, jadi hanya $12 - 4 = 8$ yang ikut olahraga tanpa musik. Maka $P (O ∣ M^{c}) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$ . Menjawab $\frac{1}{10}$ berarti memakai $\frac{4}{40}$ , yaitu sel keduanya dibagi seluruh siswa; $\frac{1}{5}$ muncul jika $8$ dibagi $40$ , atau jika kamu menghitung $P (O ∣ M) = \frac{4}{20}$ dengan syarat terbalik; $\frac{3}{10}$ adalah $P (O) = \frac{12}{40}$ tanpa syarat.
04Ada dua kotak di meja. Kotak pertama berisi 4 bola merah dan 6 bola biru, sedangkan kotak kedua berisi 8 bola merah dan 2 bola biru. Kamu memilih satu kotak secara acak, lalu mengambil satu bola dari kotak itu. Berapa peluang kamu memilih kotak pertama dan mendapat bola merah?
1. A $\frac{1}{5}$
2. B $\frac{3}{10}$
3. C $\frac{2}{5}$
4. D $\frac{3}{5}$
Pembahasan
Ada dua kotak yang peluangnya sama untuk dipilih, jadi peluang memilih kotak pertama adalah $\frac{1}{2}$ . Di kotak pertama ada 4 bola merah dari 10 bola, sehingga peluang merah dengan syarat kotak pertama adalah $\frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ . Aturan perkalian memberi $\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$ . Menjawab $\frac{2}{5}$ berarti hanya membaca cabang kedua dan lupa mengalikan peluang memilih kotaknya; $\frac{3}{10}$ adalah cabang bola biru dari kotak pertama, sedangkan $\frac{3}{5}$ adalah peluang merah total dari kedua kotak.
05Diketahui $P (A) = \frac{2}{5}$ , $P (B) = \frac{1}{2}$ , dan $P (A \cap B) = \frac{1}{4}$ . Bagaimana hubungan antara $A$ dan $B$ ?
1. A $A$ dan $B$ saling bebas, karena $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ .
2. B $A$ dan $B$ saling lepas, karena $P (A \cap B) \neq = 0$ .
3. CHubungannya tidak dapat ditentukan, karena $P (A ∣ B)$ tidak diberikan.
4. D $A$ dan $B$ tidak saling bebas, karena $P (A \cap B) \neq = P (A) \cdot P (B)$ .
Pembahasan
Ujian saling bebas adalah $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ . Di sini $P (A) \cdot P (B) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{5}$ , sedangkan $P (A \cap B) = \frac{1}{4}$ , jadi kedua nilai tidak sama dan $A$ dan $B$ tidak saling bebas. Menjawab “saling bebas” berarti menganggap $\frac{1}{4} = \frac{1}{5}$ ; menjawab “saling lepas” salah karena irisannya bukan nol, dan hubungannya sebenarnya sudah cukup ditentukan oleh ketiga nilai itu.

Rujukan kurikulum

Fase F — peluang kejadian majemuk: membedakan kejadian saling bebas dan saling lepas, serta menentukan peluang bersyarat.

Ruang sampelnya menyusut

Membaca dari tabel

Saling bebas bukan saling lepas

Contoh dikerjakan

Dari 100 siswa tersebut, berapa peluang siswa ikut matematika jika diketahui ia tidak ikut fisika?

Miskonsepsi yang sering muncul

Menukar syarat dengan kejadian yang dicari

Menganggap saling bebas tanpa diuji

Menganggap saling lepas sama dengan saling bebas

Yang perlu diingat

Latihan

Latihan

Sudah paham? Sekarang lihat apakah caramu bekerja di bawah tekanan waktu.